Seit seiner Einführung vor etwas mehr als 20 Jahren hat das Verfahren Interconnection and Damping Assignment Passivity-based Control (IDA-PBC) zu vielen theoretischen Erweiterungen und praktischen Anwendungen geführt. Diese Regler zeichnen sich unter anderem durch i) robuste Eigenschaften, ii) die Ausnutzung der strukturellen Eigenschaften des Systems und iii) ihre universelle Stabilisierungseigenschaft aus. Dies spiegelt sich in der großen Vielfalt der Anwendungen von elektrischen, mechanischen, allgemein nichtlinearen und sogar unendlich-dimensionalen Systemen wider. Das größte Problem für die Implementierung dieser Regelverfahren ist die Erfüllung der sogenante matching condition, die sich als ein System von partiellen Differentialgleichungen herausstellt. Weitere wichtige Probleme sind die Dissipationsbedingung in unteraktuierten mechanischen Systemen, die Aufteilung der Regelverfahren in zwei Stufen und die unvollständige Theorie für Systeme in impliziter Darstellung, d.h. für Systeme, die durch differential-algebraische Gleichungen beschrieben werden. In diesem Zusammenhang gliedert sich die vorliegende Arbeit in zwei Teile. Zunächst werden algebraische Lösungen für eine Klasse von nichtlinearen Systemen mit Polynomstruktur vorgestellt. Die vorgeschlagene Methode vermeidet einige der zuvor erwähnten Standardprobleme von IDA-PBC und führt zu Bedingungen, die als Summen-Quadrate-Programme umformuliert werden können. Außerdem erlaubt sie die Einbeziehung von Eingangssättigungs- und Minimierungszielen, um den Regler zu parametrieren. Im zweiten Teil verallgemeinern wir die Gesamtenergieumformung bei IDA-PBC auf mechanische Systeme in impliziter Darstellung, d.h. mit kinematischen Nebenbedingungen. Weiterhin stellen wir eine heuristische Formulierung und einige konstruktive Methoden zur Lösung der partiellen Differentialgleichungen der matching conditions vor. Schließlich stellen wir eine Methode zur Eliminierung von kinematischen Zwangsbedingungen und Zwangskräften vor, d. h. zur Reduzierung der impliziten auf die explizite Darstellung. Die Beiträge werden in zwei Polynomsystemen zweiter Ordnung, einem rationalen System dritter Ordnung, dem einfachen Pendel, der rollenden Scheibe, dem PVTOL-Flugzeug, dem cart-pole System und dem Portalkran validiert. Für die beiden letztgenannten werden reale Experimente durchgeführt, die beide im Labor des Fachgebiets Regelungstechnik an der TU Ilmenau angesiedelt sind.
Since its introduction a little over 20 years ago, the Interconnection and Damping Assignment Passivity-based Control (IDA-PBC) has led to many theoretical extensions and practical applications. These controllers have been reported successful, among others, for i) their robust features, ii) exploiting the system’s structural properties, and iii) their universal stabilization feature, reflected in the wide variety of applications ranging from electrical, mechanical, general nonlinear, and even infinite-dimensional systems. The major obstacle for implementing this control scheme is the satisfaction of the matching condition, which turns out to be a system of Partial Differential Equations (PDEs). Other significant problems include the dissipation condition in Underactuated Mechanical Systems (UMSs), splitting the controller scheme into two stages, and the incomplete theory for systems in implicit representation, i.e., systems described by Differential-algebraic Equations (DAEs).
In this context, the present work is divided into two parts. First, we introduce algebraic solutions for a class of nonlinear systems with polynomial structure. The proposed method avoids some of the standard problems of IDA-PBC previously mentioned and leads to conditions that can be recast as Sum of Squares (SOS) programs. Besides, it allows incorporating input saturation and minimization objectives to address the controller parameter selection. In the second part, we generalized the total energy shaping IDA-PBC to mechanical systems in implicit representation, i.e., with kinematic constraints. Furthermore, we introduce a heuristic formulation and some constructive methods to solve the PDEs of the matching conditions. Finally, we provide a method for eliminating kinematic constraints and constraint forces, i.e., reducing the implicit to explicit representation.
The contributions are validated in two second-order polynomial systems, a third-order rational system, the simple pendulum, the rolling disk, the Planar Vertical Takeoff-and-landing (PVTOL) aircraft, the cart-pole and the portal crane. Real experiments are carried out in the last two, both located at the Control Engineering Group’s laboratory in the TU Ilmenau.