Expected discrepancies

Weyhausen, Heidi

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Erwartungswerten von Diskrepanzen in verschiedenen p-Normen. Sie ist in drei unabhängige Hauptabschnitte unterteilt. Im ersten Abschnitt befassen wir uns mit p-Normen für p zwischen 0 und unendlich. Wir untersuchen für beliebiges postives p das Grenzwertverhalten der durchschnittlichen p-Diskrepanz, wenn die Anzahl der Punkte N gegen unendlich geht. Mithilfe der Verallgemeinerung des Diskrepanzbegriffes zur B-Diskrepanz erhalten wir Resultate für viele Arten von Diskrepanz, unter anderem für die extreme Diskrepanz, die periodische Diskrepanz und die periodische Ball-Diskrepanz. Im zweiten Abschnitt widmen wir uns der Stern-Diskrepanz, also dem Fall p gleich unendlich. Zusätzlich erlauben wir Gewichte in der Diskrepanzfunktion. Wir berechnen eine untere Schranke für den Erwartungswert der gewichteten Stern-Diskrepanz mit beliebigen, festen Gewichten. Außerdem analysieren wir im eindimensionalen Fall das asymptotische Verhalten des Erwartungswertes der Stern-Diskrepanz, ausgestattet mit den optimalen Gewichten. Im dritten Abschnitt untersuchen wir die Diskrepanz in der 2-Norm und betrachten erneut die gewichtete Diskrepanzfunktion. Im eindimensionalen Fall berechnen wir den Erwartungswert der optimal gewichteten 2-Diskrepanz analytisch. Wir zeigen, dass der Erwartungswert der optimal gewichteten 2-Diskrepanz das gleiche asymptotische Verhalten hat wie die 2-Diskrepanz der bestmöglichen Punktmenge, ebenfalls ausgestattet mit den optimalen Gewichten. Für die Dimensionen 2,3,4 und 5 stellen wir numerische Simulationen vor, die zu einer Vermutung über das asymptotische Verhalten des Erwartungswertes der optimal gewichteten 2-Diskrepanz führen.

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Weyhausen, Heidi: Expected discrepancies. 2015.

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