Efficient numerical solution of chance constrained optimization problems with engineering applications

Klöppel, Michael GND

In der Praxis werden viele Prozesse durch Unsicherheiten beeinflusst. Die Auswirkungen dieser Unsicherheiten können dabei beträchtlich sein. Es ist daher sinnvoll diese Einflüsse bei der Prozessoptimierung zu betrachten. Ein Ansatz dazu ist die Nutzung der wahrscheinlichkeitsrestringierten Optimierung. Diese erfordert die Einhaltung der Nebenbedingungen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit und erlaubt damit einen Kompromiss zwischen Profit und Zuverlässigkeit. In Abhängigkeit des unterliegenden Prozesses sind mehrere Ansätze zur Umwandlung der Wahrscheinlichkeitsrestriktionen in deterministische Restriktionen möglich. Die meisten dieser Ansätze basieren auf der Berechnung hochdimensionaler Integrale. In dieser Arbeit werden entsprechende Methoden zur Berechnung solcher Integrale vorgestellt. Hauptaugenmerk liegt dabei immer auf einer möglichst effizienten numerischen Implementation. Hauptbestandteil der Arbeit ist dabei die Beschreibung von so genannten analytischen Approximationen, welche effizient für eine Vielzahl von Anwendungen eingesetzt werden können. Für diese Verfahren werden Methoden zur Berechnung der Gradienten entwickelt. Eine weitere Verringerung der Rechenzeit wird durch die effiziente Approximierung der unterliegenden Modellgleichungen erreicht. In Fallstudien aus dem Ingenieurbereich werden die analytischen Approximationen mit anderen Ansätzen verglichen. Dabei stellt sich heraus, dass diese Methoden als genereller Ansatz benutzt werden können, auch wenn andere Methoden zu leicht besseren Ergebnissen führen. Als größere Fallstudie wird eine Problem aus dem Bereich des optimalen Lastflusses gelöst. Hier zeigt sich, dass die vorgeschlagenen Ansätze bessere Ergebnisse liefern als die weithin benutzte Approximation mit normalverteilten Zufallsgrößen. Außerdem kann durch den Einsatz effizienter Methoden selbst dieses größere Beispiel in vernünftiger Rechenzeit gelöst werden.

Many practical processes are influenced by uncertainties, which might have a large impact. Therefore, these uncertainties should be considered when optimizing such process. One approach of incorporating uncertain influences is the usage of chance constrained optimization. This approach requires that the constraints are only held with a certain probability level, thereby allowing a compromised decision between reliability and profitability. Depending on the underlying process, several approaches to transform the chance constraints into deterministic constraints exist. Most of these approaches are based on high-dimensional integrals. In this work, corresponding methods for the evaluation of such integrals will be introduced. In doing so, the focus is always on efficient numerical implementations. An essential part of this thesis is the characterization of so called analytical approximations, which can be efficiently used for a large class of applications. For these approaches, methods to evaluate gradients are described. A further reduction of the computation time can be achieved through an efficient approximation of the underlying model equations. In the case studies, the analytical approximations are compared with several other approaches. One result is that analytical approximations can act as general purpose approaches, although other methods lead to slightly better optimization results. The largest case study deals with a problem from the area of optimal power flow. Here, it can be shown that the results obtained by the proposed approach is better than the results obtained through the usage of the widely employed Gaussian approximation. Furthermore, by using efficient methods even larger scale case studies can be solved in reasonable computation time.

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Klöppel, Michael: Efficient numerical solution of chance constrained optimization problems with engineering applications. 2014.

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