Seit den frühen 50er Jahren hat die Methode der Modulationsfunktionen auf dem Gebiet der Parameter- und Zustandsschätzung dynamischer Systeme, welche durch Differentialgleichungen modelliert werden, an Bedeutung gewonnen. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Aspekten rund um die Modulationsfunktionenmethode. Die Theorie der Modulationsfunktionenmethode bezieht sich auf kontinuierliche Signale. Über die diskrete Implementierung der Methode wurde bisher nur wenig diskutiert. In dieser Arbeit wird die diskrete Umsetzung der Modulationsfunktionenmethode unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate detailliert betrachtet. Dazu werden die bei der Modulationsfunktionenmethode auftretenden Integrale als MF-Filter (Modulationsfunktionen Filter) interpretiert. Unter Verwendung der Modulationsfunktionenmethode entsteht ein lineares System für unbekannte Parameter. Die Schätzung dieser Parameter erfolgt mit der Methode der kleinsten Quadrate. Bei dieser Methode müssen Matrizen invertiert werden. Die Wahl der Modulationsfunktionen ist entscheidend, um schlecht konditionierte Matrizen zu vermeiden. Im Laufe der Jahre wurden verschiedene Modulationsfunktionen vorgestellt, deren mathematische Eigenschaften bisher nicht untersucht wurden. Als weiterer Beitrag werden insbesondere die polynomialen Modulationsfunktionen aus mathematischer Sicht betrachtet. Es wird untersucht, wie sich diese Funktionen und ihre Ableitungen an den Rändern des Definitionsintervalls verhalten und wie sich dies auf die Kondition der im linearen System auftretenden Matrix auswirkt. Darüber hinaus stellt sich die Frage, ob die Kondition der Matrix durch Skalierung der Modulationsfunktionen wesentlich verbessert werden kann. In diesem Zusammenhang werden skalierte Modulationsfunktionen betrachtet. Bis heute sind viele verschiedene Modulationsfunktionen endlicher Ordnung bekannt. Diese Modulationsfunktionen erfüllen die geforderten Randbedingungen bis zu einer bestimmten Ableitung. Das bedeutet, dass für Probleme höherer Ordnung auch Modulationsfunktionen höherer Ordnung benötigt werden. In dieser Arbeit wird die Idee für zwei neue nicht-analytische Modulationsfunktionen unendlicher Ordnung vorgestellt. Diese Funktionen können beliebig oft abgeleitet werden und erfüllen immer die Randbedingungen.
Since the early 50’s, the modulating function method has gained attention in the field of parameter and state estimation of dynamic systems modelled by differential equations. This thesis deals with different aspects concerning the modulating function method. The theory of the modulating function method refers to continuous-time signals. So far, not much has been discussed about the discrete-time implementation of the method. In this thesis, the discrete-time implementation of the modulating function method using the least squares method is considered in detail. For this purpose, the integrals occurring in the modulating function method are interpreted as special FIR-filters, called MF (modulating function) filters. By using the modulating function method, a linear system for unknown parameters is obtained. The estimation of these parameters is performed using the least squares method, where matrices need to be inverted. The choice of modulating function is important to avoid ill-conditioned matrices. Over the years, various modulating functions have been presented, but their mathematical properties have not been studied so far. As a further contribution, especially the polynomial modulating functions are considered from a mathematical point of view. It is analyzed how these functions and their derivatives act at the boundaries of their definition interval and how this affects the condition of the matrix occurring in the linear system. Furthermore, the question arises whether the matrix condition can be significantly improved by scaling the modulating functions. In this context, scaled modulating functions are considered. Until today many different modulating functions of finite order are known. These modulating functions satisfy the required boundary conditions up to a certain derivative. This means for higher order problems also higher order modulating functions are needed. In this thesis, the idea for two new non-analytic modulating functions of infinite order is presented. These functions can be differentiated an infinite number of times and still fulfil the boundary conditions. Finally, the discrete-time implementation of the modulating function method is used not only for simulated data but also for measured data of a pendulum experiment. The polynomial modulating functions and the new modulating functions are applied to estimate the coefficients offline, as well as online in real-time.
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