Das Thema dieser Arbeit ist eine detaillierte Beschreibung der Dynamik in der Nähe von D4m-symmetrischen relativen homoklinen Zykeln mit Hilfe von Lins Methode. Die homoklinen Zykel haben die Kodimension-1, d.h. wir beobachten ihre generische Entfaltung innerhalb einer einparametrigen Familie. Sie bestehen aus mehreren Trajektorien, die sowohl für positive als auch negative Zeit derselben hyperbolischen Gleichgewichtslage zustreben (Homokline Trajektorien) und die alle durch die von einer endlichen Gruppe induzierten Symmetrie voneinander abhängig sind. Wir nehmen reelle führende Eigenwerte und homokline Trajektorien an, die sich der Gleichgewichtslage entlang führender Richtungen nähern. Die Homoklinen befinden sich in flussinvarianten Unterräumen. Insbesondere für solche homoklinen Zykel in Differentialgleichungen mit Dk-Symmetrie (Dk ist die Symmetriegruppe eines regelmäßigen k-Ecks in der Ebene), bei denen k ein Vielfaches von 4 ist, stehen einige dieser flussinvarianten Unterräume senkrecht zueinander. Dies impliziert das Verschwinden der typischerweise auftretenden Terme führender exponentieller Konvergenzordnung in einigen der aus Lins Methode gewonnenen Bestimmungsgleichungen. Um eine genaue Beschreibung der nichtwandernden Dynamik eines solchen homoklinen Zykels zu geben, d.h. eine Beschreibung der Lösungen, die in der Umgebung des Zykels sowohl im Phasen- als auch im Parameterraum verbleiben, sind weitere Informationen über die Restterme in den Bestimmungsgleichungen erforderlich. In dieser Arbeit stellen wir eine verfeinerte Darstellung der Restterme in den Bestimmungsgleichungen vor und identifizieren zwei weitere Terme mit nächsthöheren exponentiellen Konvergenzraten. Darauf aufbauend diskutieren wir die Lösbarkeit der resultierenden Bestimmungsgleichungen für homokline Zykel in R4. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden, die vom Größenverhältnis der beiden neuen Terme abhängen. In einem Fall beobachten wir einen endlichen Subshift. Im anderen Fall erweist sich die Analysis als schwieriger, so dass wir die Untersuchung auf periodische Lösungen beschränken.
The topic of this thesis is a detailed description of the dynamics near D4m-symmetric relative homoclinic cycles by using Lin’s method. The homoclinic cycles have codimension-one, that is we observe the generic unfolding within a one- parameter family. They consist of several trajectories that are homoclinic to a hyperbolic equilibrium and which are all related to each other by means of the symmetry induced by a finite group. We assume real leading eigenvalues and connecting trajectories that approach the equilibrium along leading directions. The homoclinics are situated in flow-invariant subspaces. Especially for such homoclinic cycles in differential equations with Dk-symmetry (Dk is the symmetry group of a regular k-gon in the plane) where k is a multiple of 4 some of these flow-invariant subspaces are perpendicular to each other. This implies the vanishing of the typically appearing leading order terms in some of the determination equations gained from Lin’s method. In order to give a precise description of the nonwandering dynamics of such a homoclinic cycle, that is a description of the solutions that remain in the neighbourhood of the cycle both in phase and parameter space, further information about the residual terms in the determination equations are needed. In this thesis we present a more sophisticated representation of the residual terms in the determination equations and identify two further terms of next leading exponential rates. Based on this we discuss the solvability of the resulting determination equations for homoclinic cycles in R4. Thereby two cases must be distinguished, depending on the size ratio of the two new terms. In one case we observe subshifts of finite type. In the other case the analysis turns out to be more difficile so we restrict the investigation to periodic solutions. Beyond that we show how vector fields in R4 containing a homoclinic cycle with Dk-symmetry can be constructed. Those can be used for numerical investigations. One of these examples we consider numerically to verify some of the analytic results.
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