Rough evolution equations : analysis and dynamics

Hesse, Robert GND

In this thesis we consider Stochastic Evolution Equations driven by rough paths. The first aim is to show existence and uniqueness of mild solutions. Therefore, important basics on semigroup theory and on the theory of rough paths are introduced. Afterwards, we develop a solution theory based on heuristic considerations and use this to prove the existence of a global-in-time solution. Then, as leading example for the driving noise we consider a fractional Brownian motion which, can be lifted to a rough path, and analyze simple dynamic properties of the mild solution. We show that the solution generates a random dynamical system and investigate its long-time behavior under additional assumptions on the coefficients, i.e. we show local as well as global stability of the trivial solution.

In dieser Arbeit betrachten wir Stochastische Evolutionsgleichungen getrieben durch raue Pfade. Das erste Ziel ist die Existenz und Eindeutigkeit von milden Lösungen zu zeigen. Dazu werden wichtige Grundlagen zur Halbgruppentheorie sowie zur Theorie der rauen Pfade präsentiert. Anschließend entwickeln wir, basierend auf heuristischen Betrachtungen, eine Lösungstheorie und zeigen die Existenz einer eindeutigen globalen Lösung. Als Anwendung für das treibende stochastische Rauschen betrachten wir eine fraktale Brownsche Bewegung, welche zu einem rauen Pfad geliftet wird und analysieren daran einfache dynamische Eigenschaften der milden Lösung. Wir zeigen, dass diese Lösung ein zufälliges dynamisches System generiert und untersuchen ihr Langzeitverhalten unter zusätzlichen Voraussetzungen an die nichtlinearen Koeffizienten, d.h. wir zeigen sowohl lokale als auch globale Stabilität der trivialen Lösung.

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Hesse, R., 2019. Rough evolution equations: analysis and dynamics. Jena. https://doi.org/10.22032/dbt.40262
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