Operatortheorie für PT-symmetrische Quantenmechanik

Leben, Florian GND

Eine Verallgemeinerung der klassischen Quantenmechanik stammt von C. M. Bender und S. Boettcher welche alle Axiome der Quantenmechanik übernahmen, außer der Bedingung, dass der Hamiltonoperator Hermitesch ist. Sie fordern stattdessen, dass der Hamiltonoperator PT-symmetrisch ist. Hier sind P beziehungsweise T die Parität und die Zeitumkehr. Besonderes Augenmerk liegt auf den speziellen Hamiltonoperatoren $$H = p^2 - (iz)^{N+2}, z \in \Gamma$$ auf einer Kontur \Gamma und mit einer natürlichen Zahl N. In der vorliegenden Arbeit behandeln wir die Operatoren H, sowie Hamiltonoperatoren mit einem allgemeineren PT-symmetrischen Potential q, erklärt auf einer keilförmigen Kontur \Gamma. Das dazugehörige Eigenwertproblem hat nach einer Parametrisierung der Kontur die Gestalt $$e^{\mp 2i\phi}w''(x) + q_{\pm}(x)w(x) = \lambda w(x), x \in R_{\pm}.$$ Für das zu H gehörige Problem gilt q_{\pm}(x) = -(ix)^{N+2}e^{\pm(N+2)i\phi}. Dies sind Sturm-Liouville Differentialgleichung auf (-\infty, 0] und [0,\infty), welche wir mit operatortheoretischen Methoden behandeln. Wir geben, mittels WKB-Analysis ein Grenzpunktfallkriterium an und für das spezielle Potential aus H eine vollständige Klassifikation bezüglich der Weyl’schen Grenzpunkt-/Grenzkreisfall Alternative. Wir definieren die zu den obigen Differentialgleichungen gehörenden minimalen und maximalen Operatoren, welche zueinander adjungiert bezüglich der komplexen Konjugation sind. Diese Operatoren sind auf den reellen Halbachsen definiert und wir fügen diese zu dem minimalen und maximalen Operator auf der ganzen Achse zusammen, die wiederum zueinander adjungiert bezüglich des neuen inneren Produktes [\cdot, \cdot] := (P\cdot, \cdot) sind. Mithilfe einer Kopplungsbedingung G \in C^{2×2} in Null erhalten wir den Operator A_G, eine Einschränkung des maximalen Operators. Diese Bedingung besitzt Freiheitsgrade und wir geben Bedingungen an G an, sodass A_G PT-symmetrisch oder [\cdot, \cdot]-selbstadjungiert ist. Dafür konstruieren wir ein Randtripel. Außerdem berechnen wir die Weyl-Funktion und erhalten somit eine Bedingung für die Existenz und Lage der Eigenwerte von A_G. Mithilfe der WKB-Analysis untersuchen wir diese Bedingung und können Bereiche der komplexen Ebene ausschließen, in denen sich kein Spektrum befindet. Ferner besitzt A_G strukturell dieselben Spektraleigenschaften wie die entsprechenden Operatoren auf den Halbachsen.

A generalisation of conventional quantum mechanics was coined by C. M. Bender and S. Boettcher. They adopted all axioms of quantum mechanics except the one that assumes the Hamiltonian to be Hermitian. Instead, it is assumed that the Hamiltonian is PT-symmetry, where P is the spatial reflection and T is the time reversal. The authors consider a non-Hermitian Hamiltonian corresponding to $$H = p^2 + (iz)^{N+2}, z \in \Gamma$$, where N is a natural number and z runs along a complex contour \Gamma. In the present thesis, we consider the operator H and more general PT-symmetric Hamiltonians defined on a wedge-shaped contour G. After a parametrisation of G, the associated eigenvalue problems $$e{\mp 2i\phi}w''(x) + q_{\pm}(x)w(x) = \lambda w(x), x \in R_{\pm}$$ are Sturm-Liouville differential equations on (-\infty, 0] and on [0,\infty), in which the corresponding potential of H yields to q_{\pm}(x) = -(ix)^{N+2}e^{\pm(N+2)i\phi}. With the help of asymptotic analysis we give a limit point criterion and for the potential of H a complete limit point/limit circle classification. Corresponding to the above differential equations we define the minimal and the maximal operator, which are adjoint with respect to complex conjugation. These operators are defined on the real semi-axis and we merge them to the minimal operator and the maximal operator on the full axis, which are adjoint with respect to the new inner product [\cdot, \cdot] := (P\cdot, \cdot). With a coupling condition G \in C^{2×2} in zero we obtain an operator A_G, which is a restriction of the maximal operator. We give conditions on G, such that A_G is PT-symmetric or [\cdot, \cdot]-self-adjoint. To this end, we construct a boundary triple. Moreover we calculate the Weyl function and thus obtain a condition for the existence and position of eigenvalues of A_G. With asymptotic analysis we also can exclude areas of the complex plane, where A_G has no eigenvalues. Furthermore, characteristics of the spectrum of A_G match structurally with the characteristics of the operators defined on the semi axis.

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