Numerical studies of turbulent Rayleigh-Bénard convection in closed cells : boundary layer dynamics and large scale patterns

Ovsyannikov, Mikhail GND

Die vorliegende zweiteilige Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Aspekten der Rayleigh-Benard Konvektion (RBK) in geschlossenen zylindrischen und rechteckigen Zellen. Im ersten Teil wird ein theoretisches Modell für eine laminare Grenzschichtströmung entwickelt, in dem sowohl der Auftrieb und als auch der longitudinale Druckgradient erstmals gemeinsam berücksichtigt werden. Es basiert auf der klassischen Theorie von L. Prandtl. Dieses Modell soll eine bessere Übereinstimmung mit Daten aus dreidimensionalen, direkten numerischen Simulationen (DNS) von Konvektionsströmungen in einer zylindrischen Zelle mit zwei unterschiedlichen Prandtlzahlen aufweisen als bereits bestehende Modelle. Für eine niedrige Prandtlzahl konnte eine Verbesserung erreicht werden. Mit Einbeziehung des Auftriebs für höhere Prandtlzahlen ergeben sich signifikante Unterschiede. Eine mögliche Erklärung anhand von kohärenten Strukturen wird vorgestellt. Der zweite Teil dieser Arbeit bezieht sich auf DNS von turbulenten Konvektionsströmungen in einer geschlossenen, rechteckigen Zelle mit großem Aspektverhältnis. Bisher wurden die meisten numerischen Untersuchungen der RBK in geschlossenen Zylindern oder zwischen zwei horizontalen Platten ohne Seitenwände gemacht. Die Seitenwände beschränken die Nutzung effizienter numerischer Methoden, welche bei inkompressiblen Konvektionsströmungen angewandt werden. Eine hohe Performance der numerischen Methode ist besonders für RBK mit großem Aspektverhältnis von Vorteil. In der vorliegenden Arbeit wurde deshalb eine numerische Methode für die Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen in einer rechteckigen Zelle entwickelt, die auf Mehrgitterlösern aus einem vorhandenen Programmpaket basiert. Diese numerische Methode ist in ein bestehendes Programm für RBK integriert worden. Der so erweiterte numerische Code ermöglicht DNS von RBK mit großem Aspektverhältnis. Eine Fragestellung zur Ergodizität von turbulenter RBK wird hierbei näher untersucht. Dazu werden Daten genutzt, welche mit dem neuen Code aus DNS mit großem Aspektverhältnis in rechteckigen Zellen erhalten wurden. Die Ergodenhypothese besagt, dass das Zeitmittel der hydrodynamischen Felder mit deren Ensemble-Mittelwert übereinstimmt. Für turbulente Strömungen wurde die Ergodenhypothese bislang nicht bewiesen. Das Ziel der Untersuchungen ist es, Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Zeitmittel und Ensemblemittel zu finden. Es stellt sich heraus, dass bei einer Zeitmittelung über ein langes Zeitfenster große, kohärente Strukturen der Strömung bestehen bleiben. Bei Ensemble-Mittelung werden diese dagegen zerstört. Dennoch stimmen viele makroskopische Parameter und Momente zweiter Ordnung einiger Größen bei den zwei unterschiedlichen Arten der Mittelung überein. Die Analyse der turbulenten Viskosität und der turbulenten thermischen Diffusivität zeigt dagegen einige Unterschiede und erfordert weitere Untersuchungen.

The present work consists of two parts devoted to study of different aspects of Rayleigh-Bénard convection (RBC) in closed cylindrical and rectangular cells. The first part is devoted to development of a model of a laminar boundary layer flow. The model based on the classical theory by L. Prandtl incorporates effects of the buoyancy and the longitudinal pressure gradient, which have so far been considered separately. The aim of the development is to improve agreement between results of the model and data obtained in three-dimensional direct numerical simulations (DNS) of convection flows at two Prandtl numbers in a particular cylindrical cell. The improvement is achieved for a lower Prandtl number (Pr), while for a higher Pr the inclusion of the buoyancy does not give significant improvement. A possible explanation related to a coherent structure is provided. The second part of the work is related to DNS of a turbulent convection flow in a closed rectangular box with a large aspect ratio. At present most of numerical studies of RBC have been performed for convection in closed cylindrical cells or between two horizontal plates without lateral constraints. The presence of additional lateral rigid walls in a rectangular cell imposes limitations on the use of the most effective numerical methods applied for solving equations of an incompressible convection flow. The effectiveness of a numerical method is especially important for RBC in large-aspect-ratio cells. In the frame of the present work a numerical method based on multigrid solvers included in a software package is developed for solving elliptic partial differential equations in a rectangular box. The solution method is integrated into an existing numerical scheme, and a code for performing DNS of RBC in large-aspect-ratio cells is developed. A problem related to the ergodicity is studied, and data used for analysis are obtained in DNS of convection flows in large-aspect-ratio rectangular cells performed by the new code. The ergodic hypothesis states that time-averaged fluid dynamic fields are identical to those obtained by averaging over statistical ensemble. In the case of turbulent flows, the ergodic hypothesis has not been proved yet. The aim of this study is to find similarities and differences between time-averaged fluid dynamic fields and those averaged over ensemble. It is found that large coherent structures are persistent in a flow after averaging over a long period of time, while the averaging over ensemble tends to destroy these structures. Nevertheless, many macroscopic parameters and second-order moments of some quantities are very close despite the type of averaging. The analysis of the turbulent viscosity and the turbulent thermal diffusivity reveals some differences but requires a deeper study.

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Ovsyannikov, Mikhail: Numerical studies of turbulent Rayleigh-Bénard convection in closed cells. boundary layer dynamics and large scale patterns. Ilmenau 2018.

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