Über funktionentheoretische Methoden in der räumlichen Elastizitätstheorie

Bock, Sebastian GND

Die Behandlung von geometrischen Singularitäten bei der Lösung von Randwertaufgaben der Elastostatik stellt erhöhte Anforderungen an die mathematische Modellierung des Randwertproblems und erfordert für eine effiziente Auswertung speziell angepasste Berechnungsverfahren. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der systematischen Verallgemeinerung der Methode der komplexen Spannungsfunktionen auf den Raum, wobei der Schwerpunkt in erster Linie auf der Begründung des mathematischen Verfahrens unter besonderer Berücksichtigung der praktischen Anwendbarkeit liegt. Den theoretischen Rahmen hierfür bildet die Theorie quaternionenwertiger Funktionen. Dementsprechend wird die Klasse der monogenen Funktionen als Grundlage verwendet, um im ersten Teil der Arbeit ein räumliches Analogon zum Darstellungssatz von Goursat zu beweisen und verallgemeinerte Kolosov-Muskhelishvili Formeln zu konstruieren. Im Hinblick auf die vielfältigen Anwendungsbereiche der Methode beschäftigt sich der zweite Teil der Arbeit mit der lokalen und globalen Approximation von monogenen Funktionen. Hierzu werden vollständige Orthogonalsysteme monogener Kugelfunktionen konstruiert, infolge dessen neuartige Darstellungen der kanonischen Reihenentwicklungen (Taylor, Fourier, Laurent) definiert werden. In Analogie zu den komplexen Potenz- und Laurentreihen auf der Grundlage der holomorphen z-Potenzen werden durch diese monogenen Orthogonalreihen alle wesentlichen Eigenschaften bezüglich der hyperkomplexen Ableitung und der monogenen Stammfunktion verallgemeinert. Anhand repräsentativer Beispiele werden die qualitativen und numerischen Eigenschaften der entwickelten funktionentheoretischen Verfahren abschließend evaluiert. In diesem Kontext werden ferner einige weiterführende Anwendungsbereiche im Rahmen der räumlichen Funktionentheorie betrachtet, welche die speziellen Struktureigenschaften der monogenen Potenz- und Laurentreihenentwicklungen benötigen.

In structural mechanics, boundary value problems with geometrical singularities require advanced mathematical modeling techniques and especially adapted numerical methods in order to obtain a precise description of the singular near field. This doctoral thesis deals with a systematic approach to a spatial analog of the method of complex stress functions. Here, the main focus is on the generalization of the mathematical method in consideration of the practical applicability. The theoretical framework is therefore constituted by methods of hypercomplex function theory in particular the theory of quaternion-valued functions. Thus, the class of monogenic functions is methodically used in the first part of the thesis to prove a spatial counterpart of Goursat's representation theorem that enables the construction of generalized Kolosov-Muskhelishvili formulae in three dimensions. The second part of the thesis is concerned with the local and global approximation of monogenic functions. In this context, new monogenic representation formulae of the canonical series expansions (Taylor, Fourier, Laurent) are defined by using complete orthogonal systems of solid spherical monogenics. These monogenic orthogonal series generalize the important structural properties of the complex-one-dimensional power and Laurent series expansions concerning the hypercomplex derivative and the monogenic primitive. Finally, representative examples are studied to evaluate the function-theoretical methods constructed here by means of their qualitative and numerical characteristics. In this connection, some further fields of application in the framework of hypercomplex function theory are considered, which essentially need the specific structural properties of the monogenic power and Laurent series expansions.

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Bock, Sebastian: Über funktionentheoretische Methoden in der räumlichen Elastizitätstheorie. 2010.

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