Optimal stopping problems with expectation constraints
In this thesis we investigate optimal stopping problems with expectation cost constraints. We focus on reducing the set of stopping times as well as on deriving a partial differential equation for the value function. If the process to stop is a time-homogeneous Ito-process, we show, by introducing a new state variable, that one can transform the problem into an unconstrained control problem and hence obtain a dynamic programming principle. We characterize the value function in terms of the dynamic programming equation, which turns out to be an elliptic, fully non-linear partial differential equation of second order. In addition, we prove a classical verification theorem and apply it to several examples. Furthermore, we consider the problem of optimally stopping a one-dimensional regular continuous strong Markov process with a stopping time satisfying an expectation constraint. We show that it is sufficient to consider only stopping times such that the law of the process at the stopping time is a weighted sum of 3 Dirac measures. The proof uses results on Skorokhod embeddings in order to reduce the stopping problem to a linear optimization problem over a convex set of probability measures. We apply the results to analyze a sequential testing problem and show that in this problem the optimal stopping times are given by at most two consecutive exit times of intervals. Finally, using the theory of Tchebycheff systems we examine when we can reduce the set of stopping times in the constrained problem to first exit times of intervals. In this case, the law of the process at the stopping time is a weighted sum of at most 2 Dirac measures.
In der vorliegenden Arbeit werden optimale Stoppprobleme mit Restriktionen an ein durch- schnittliches Kostenfunktional der Stoppzeit untersucht. Das Ziel ist es, sowohl die Menge der Stoppzeiten zu reduzieren als auch eine partielle Differentialgleichung für die Wertfunktion herzuleiten. Ist der zu stoppende Prozess ein zeithomogener Itˆo-Prozess, können wir das Stoppproblem durch Erweiterung des Zustandsraumes in ein optimales Kontrollproblem ohne Nebenbedingungen überführen und so ein dynamisches Programmierungsprinzip erhalten. Die Wertfunktion wird durch eine elliptische nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung charakterisiert. Wir beweisen ein klassisches Verifikationstheorem und wenden es auf mehrere Beispiele an. Des Weiteren betrachten wir optimale Stoppprobleme für eindimensionale reguläre stetige starke Markovprozesse, wobei der Erwartungswert der Stoppzeiten beschränkt ist. Wir zeigen, dass es ausreichend ist, Stoppzeiten zu betrachten, sodass die Verteilung des Prozesses zur Stoppzeit einer gewichteten Summe von 3 Diracmaßen entspricht. Der Beweis basiert auf Ergebnissen zur Skorokhod Einbettung und überführt das Stoppproblem in ein lineares Optimierungsproblem über einer konvexen Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Die Ergebnisse werden in der Analyse eines sequentiellen Testproblems angewendet. Wir zeigen, dass die optimalen Stoppzeiten in diesem Problem durch höchstens zwei aufeinanderfolgende Austrittszeiten gegeben sind. Abschließend untersuchen wir mit Hilfe der Theorie der Tchebycheffsysteme, unter welchen Voraussetzungen die Menge der Stoppzeiten auf erste Austrittszeiten aus Intervallen reduziert werden kann. Die Verteilung des Prozesses zur Stoppzeit ist in diesem Fall eine gewichtete Summe von 2 Diracmaßen.
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