Bounds on the Hausdorff dimension of random attractors

Böhm, Markus GND

In der vorliegenden Dissertation werden zufällige dynamische Systeme in Hilberträumen und deren Langzeitverhalten diskutiert. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der Abschätzung der Hausdorff-Dimension von zufälligen Attraktoren, welche ein wichtiges Merkmal für das Langzeitverhalten darstellen. Eine Besonderheit des ersten Teils der Arbeit ist, dass die Grundmenge des zugrunde liegenden Maßraums eine fraktale Menge ist. Eine solche Menge ist typischerweise eine Teilmenge eines euklidischen Raumes, hat ein leeres Inneres und keinen glatten Rand. Aufgrund dieser Eigenschaften ist eine klassische Differentation von Funktionen auf diesen Mengen nicht möglich. Nach einer Einführung in die Analysis auf Fraktalen und dem zugehörigen Laplace-Operator wird ein zufälliges dynamisches System aus der Lösung einer stochastischen partiellen Differentialgleichung erzeugt und die Existenz eines eindeutigen zufälligen Attraktors diskutiert. Für die Hausdorff-Dimension dieses Attraktors wird im Anschluss eine obere Schranke hergeleitet, die von dem spektralen Exponent des Laplace-Operators abhängt. Insbesondere geben wir im Rahmen eines Beispiels einen numerischen Wert für die obere Schranke an. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit einer stochastischen partiellen Differentialgleichung, welche von einem multiplikativen Rauschen getrieben wird. Wir beweisen die Existenz des zufälligen Attraktors der zugehörigen Dynamik und die Existenz einer invarianten instabilen Mannigfaltigkeit. Um eine untere Abschätzung für die Hausdorff-Dimension des Attraktors zu erhalten, projizieren wir eine Teilmenge der Mannigfaltigkeit, welche auch Teilmenge des Attraktors ist, auf den instablen Teilraum des Hilbertraums.

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Böhm, Markus: Bounds on the Hausdorff dimension of random attractors. Jena 2018.

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