Projective shapes : topology and means

Kelma, Florian

The projective shape of an object consists of the geometric information that is invariant under different camera views. When describing an object as a configuration of k points or ``landmarks'' in real projective space RP(d), then the set of projective shapes can be defined as the set RP(d)^k / PGL(d) of equivalence classes of configurations under the component-wise action of projective transformations. Equipped with the quotient topology, the space of projective shapes is topologically ill-behaved just like in the cases of similarity and affine shapes. In particular, it is neither a manifold nor metrizable. In this thesis the topological structure of projective shape space is analysed in detail in quest for a reasonable topological subspace which is convenient enough for the application of mathematical tools. Further, it is shown that the topological subspace of Tyler regular shapes introduced by Kent and Mardia fulfills all required properties except for some number of landmarks k and dimensions d. Then using Tyler standardization, Procrustes distances and Riemannian structures can be defined on the subspace of Tyler regular shapes. For one of these Procrustes distances, a projective mean shape is defined by using the more general concept of Fréchet means. Since the computation of the corresponding sample mean is rather intricate, a new mean is introduced and discussed.

Die projektive Form eines Objektes ist die geometrische Information, die invariant unter projektiven Transformationen ist. Sie tritt natürlicherweise bei der Rekonstruktion von Objekten anhand Fotos unkalibrierter Kameras auf. Wenn ein Objekt als Punktmenge oder Konfiguration von Landmarken im d-dimensionalen reell-projektiven Raum RP(d) beschrieben wird, so ist die Menge der projektiven Formen der Quotientenraum RP(d)^k / PGL(d) und damit kanonisch mit der Quotiententopologie versehen. Auf diesem topologischen Raum der projektiven Formen lassen sich jedoch aus topologischen Gründen viele mathematische Werkzeuge nicht anwenden, ein Phänomen, welches in ähnlicher Form auch bei den Räumen der Ähnlichkeits- bzw. affinen Formen auftritt. In der vorliegenden Arbeit wird die Topologie des projektiven Formenraumes gründlich untersucht, in Hinblick auf die Suche nach einem vernünftigen topologischen Unterraum, der hinreichende Eigenschaften für die Anwendung statistischer Methoden besitzt. Ein Beispiel für einen dieser gutartigen Unterräume ist der Raum der Tyler regulären Formen, der bereits durch Kent und Mardia betrachtet wurde. Deren Ergebnisse werden in dieser Arbeit noch erweitert. Dieser Unterraum ist zwar für einige Dimensionen d und Anzahlen an Landmarken k nicht optimal gewählt, jedoch liefert die so-genannte Tyler-Standardisierung dieser Formen einem sowohl Einbettungen in metrische Räume als auch eine Riemannsche Metrik auf diesem Unterraum. Für eine dieser Einbettungen werden die dazugehörige Fréchet-Erwartungs- sowie Mittelwerte definiert. Während die Konsistenz dieses Mittelwertes leicht zu zeigen ist, ist die Berechnung des extrinsischen Mittelwertes numerisch anspruchsvoll. Als Ersatz wird ein weiterer Erwartungs- bzw. Mittelwert definiert, dessen Berechnung diese Probleme umgeht

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Kelma, Florian: Projective shapes. topology and means. Ilmenau 2017.

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