Entwurf und Programmierung von numerischen Verfahren und Algorithmen zur Lösung der Boltzmann-Gleichung

Mahmoud, Muhanad

Die Boltzmann-Gleichung ist eine mesoskopische Gleichung, welche Gas-Strömungen im Übergang zur Teilchendynamik beschreibt. Die Methoden zur Lösung der Boltzmann Gleichung sind ein wichtiges Forschungsthema. In dieser Arbeit interessieren wir uns für die sogenannten deterministischen Schemata, die mit diskreten Geschwindigkeitsmodellen (DVMs) verbunden ist. Zuerst wurden die Grundlagen für DVM zusammengetragen. Dann haben wir für Gase mit kleiner Knudsen-Zahl, in den allgemeinen Fällen, die Konvergenz zu der Maxwell-Verteilung bewiesen. Danach haben wir grundsätzlich eine Detailansicht über die Linearisierung des Stoßoperators und die Eigenschaften der linearisierten Matrix ermittelt. Weiterhin haben wir eine Diskretisierung des Geschwindigkeitsraums (Für 2- und 3-Dimensionen) definiert und einige DVMs untersucht. Außerdem wurden hier die Begriffe "vollständiges Modell" und "vollständige Stoßmenge" definiert und Methoden, um die minimale vollständige Stoßmodelle zu erstellen, entwickelt. Der logisch nachfolgende Schritt ist verschiedene vollständige Stoßmodelle zu entwickeln, sowie untereinander und mit einigen unvollständigen Modellen zu vergleichen, als auch einen genaueren Blick auf die rechnerische Komplexität zu werfen. Danach wurde die Lösung der Boltzmann-Gleichung in den komplexen Randbedingungen untersucht. Die Algorithmen wurden dargestellt, um beliebige Anfangswerte und Randbedingungen verwenden. Man kann durch diese Algorithmen jedes Gasmodell (Ortsraum-Geometrie) in einem Bild darstellen/speichern und in unserem Programm verwenden. Schließlich haben wir numerische Experimente für die Boltzmann-Gleichung durchgeführt. Die Ergebnisse wurden mit denen der physikalischen Experimente und/oder mit den Ergebnissen der anderen numerischen Methoden verglichen.

The Boltzmann equation is a mesoscopic equation which describes gas flows in the transition to particle dynamics. The methods for solving the Boltzmann equation are an important research subject. In this work, we are interested in the so-called deterministic schemata, which are somehow connected with discrete velocity models (DVMs). First the foundations for DVM were put together. Then, for gases with a small Knudsen number, we have proved the convergence to the Maxwell distribution in the general cases. After that, we have basically determined a detailed view of the linearization of the collision operator and the properties of the linearized matrix. Furthermore, we have defined a discretization of the speed range (for 2 and 3 dimensions) and examined some DVMs. In addition, the terms "complete model and complete collision set" have been defined and methods for minimal collision models have been developed. The next logical step is to develop complete collision models, to compare them with each other and some incomplete models, as well as take a closer look at the computational complexity. Then the solution for the Boltzmann equation was investigated in the complex boundary conditions. The algorithms were created to use arbitrary initial values and boundary conditions. These algorithms can store an image for each gas model (spatial space geometry) and then use it in our program. Finally, we have carried out numerical experiments for the Boltzmann equation. The results were compared with those of the physical experiments or with the results of the other numerical methods.

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Mahmoud, Muhanad: Entwurf und Programmierung von numerischen Verfahren und Algorithmen zur Lösung der Boltzmann-Gleichung. Ilmenau 2017.

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