Energy forms

Schmidt, Marcel GND

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Energieformen (energy forms). Eine Energieform ist eine unterhalbstetige quadratische Form auf dem Raum der reellwertigen, m-fast überall definierten Funktionen, welche einer messbaren Funktion f ihre Energie E(f) zuordnet und eine Kontraktionseigenschaft besitzt. Die Kontraktionseigenschaft besagt, dass für jede normale Kontraktion C die Energie E(Cf) kleiner oder gleich der Energie E(f) ist. Dies ist eine abstrakte Formulierung des Postulats, dass das Abschneiden von Fluktuationen einer Funktion (welche eine physikalische Größe beschreibt) ihre Energie verringert. Energieformen stellen eine Verallgemeinerung von Dirichletformen, erweiterten Dirichletformen und Widerstandsformen (resistance forms) dar. Diese Arbeit untersucht ihre strukturellen Eigenschaften und globalen Eigenschaften. Zu letzteren zählen Rekurrenz und Transienz, die Eindeutigkeit von Silversteinerweiterungen und stochastische Vollständigkeit. Wir konstruieren maximale Silversteinerweiterungen und entwickeln den Begriff der schwachen Lösung, einer zu einer Energieform assoziierten Laplacegleichung, um die globalen Eigenschaften zu charakterisieren. Anders als bisher verwenden wir dabei ausschließlich die algebraische Struktur der Formen und keine Darstellungstheorie oder extrinsische Informationen.

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Schmidt, Marcel: Energy forms. Jena 2017.

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