Spectral approximation of aperiodic Schrödinger operators

Beckus, Siegfried GND

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Stetigkeitseigenschaften der Spektren einer Operatorfamilie indiziert durch einen topologischen Raum. Speziell werden lineare beschränkte Operatoren betrachtet, die selbst-adjungiert, unitär bzw. normal sind. Der Abstand der zugehörigen Spektren wird durch die Hausdorffmetrik gemessen. Die (Hölder-)Stetigkeit wird für diese Klassen von Operatoren charakterisiert. Hierbei treten interessante Effekte in den quantitativen Abschätzungen auf, falls sich spektrale Lücken schließen. Genauer gesagt, die Rate der Konvergenz wird halbiert, falls sich spektrale Lücken schließen. Es stellt sich heraus, dass die entwickelte Theorie optimale Ergebnisse liefert. Weiterhin wird gezeigt, dass sich die Spektren genau dann stetig verhalten, wenn die zugehörigen C*-Algebren ein stetiges Feld von C*-Algebren definieren. Darauf basierend wird ein Werkzeug bereitgestellt, um die Stetigkeit für große Klassen von Operatoren nachzuweisen. Im Speziellen wird die Stetigkeit der Spektren für verallgemeinerte Schrödingeroperatoren assoziiert zu einem dynamischen System charakterisiert. Basierend auf diesem Resultat werden Klassen von Subshifts analysiert, die durch periodische Systeme approximiert werden können. Dies liefert aufgrund der vorher entwickelten Theorie periodische Approximationen der Schrödingeroperatoren. Hier stellt sich im mehrdimensionalen Fall heraus, dass lokale Symmetrien in den Mustern für substitutionelle Systeme sind ein hinreichendes Kriterium für periodische Approximationen sind. Dazu wird der Begriff eines Wörterbuches, bekannt im eindimensionalen Fall, konzeptionell eingeführt und weiterentwickelt. Es wird gezeigt, dass der Raum der Wörterbücher ausgestattet mit der lokalen Mustertopologie homöomorph zu dem topologischen Raum der Subshifts ist. Dies liefert ein hilfreiches Werkzeug zur Untersuchung dieser Systeme. Im Abschluss werden einige Beispiele diskutiert und die entwickelte Theorie auf diese Beispiele angewendet.

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Beckus, Siegfried: Spectral approximation of aperiodic Schrödinger operators. Jena 2017.

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