Column tessellations and birth-time distributions of weighted polytopes in STIT tessellations

Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung einiger Modelle von zufälligen Mosaiken. Zu diesem Zweck wird zunächst ein neues Modell, das kein flächentreues zufälliges Mosaik im Raum ist, eingeführt – das sogenannte Column Mosaik. Die räumliche Konstruktion basiert auf einem stationären zufälligen ebenen Mosaik mit konvexen polygonalen Zellen. Zu jeder polygonalen Zelle bilden wir einen unendlichen Zylinder, der senkrecht zu der Ebene, die das ebene Mosaik enthält, ist. Jeder Zylinder wird in Zellen des räumlichen Mosaiks durch Schnitte, die zu dieser Ebene parallel sind, unterteilt. Jede räumliche Zelle ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche kongruent zu einer Zelle des ebenen Mosaiks ist. Somit können die Merkmale des resultierenden zufälligen räumlichen Mosaiks, nämlich Intensitäten, topologische/innere Parameter und metrische Mittelwerte von Längen, Flächen und Volumen, aus geeignet gewählten Parametern des zugrundeliegenden zufälligen ebenen Mosaiks berechnet werden. Analoge Merkmale werden für Stratum Mosaike bestimmt. Danach führen wir markierte Poissonsche Hyperebenenprozesse ein. Dieser markierte Prozess erzeugt ein entsprechendes markiertes Poissonsches Hyperebenenmosaik. Die Verteilungen der Lebenszeit und der teilenden Hyperebene eines Objekts im Prozess der markierten Poissonschen Hyperebenenprozesse werden berechnet. Außerdem untersuchen wir die Unabhängigkeit zwischen einem gewichteten Objekt und seinem entsprechenden Geburtszeit-Vektor. Eine Beziehung zwischen Poissonschen Hyperebenenprozessen und STIT Mosaiken wird ebenfalls vorgestellt. Zum Schluss behandeln wir die k-dimensionalen gewichteten maximalen Polytope eines STIT Mosaiks, wobei die inneren Volumina die Gewichte darstellen. Ein k-dimensionales maximales Polytop des STIT Mosaiks ist der Durchschnitt von (d-k) maximalen Polytopen der Dimension (d-1). Im Hinblick auf die räumlich-zeitliche Konstruktion von STIT Mosaiken hat jedes dieser (d-k) Polytope eine wohldefinierte zufällige Geburtszeit. Die gemeinsame Verteilung der Geburtszeiten dieser (d-k) maximalen Polytope wird berechnet und verwendet, um die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewisses typisches maximales Segment eine feste Anzahl von inneren Knoten enthält, zu bestimmen.