On Output Feedback Control of Infinite-dimensional Systems

Selig, Tilman GND

Diese Dissertation behandelt zeitinvariante, unendlichdimensionale, lineare Systeme, die ein Eingangssignal u in ein Ausgangssignal y umwandeln.In der Theorie der kompatiblen, wohlgestellten, linearen Systeme, werden solche Umwandlungen durch Differenzialgleichungen der Formx'(t)=Ax(t)+ Bu(t), y(t)=Cx(t)+Du(t) beschrieben, wobei A, B, C und D lineare Operatoren zwischen Hilbert-Räumen sind, die auch unstetig sein können. Um die Struktur solcher Systeme zu verstehen, werden verschiedene Arten von Zustandsraumtransformationen, die aus der endlichdimensionalen Theorie bekannt sind verallgemeintert: Für Systeme mit kompaktem Hankel-Operator werden ausgangsnormalisierende sowie balancierende Transformationen konstruiert und für die Modellreduktion eingesetzt. Für Systeme mit natürlichzahligem Relativgrad werden Transformationen entwickelt um die Byrnes-Isidori-Form und eine verwandte, sogenannte Nulldynamikform zu verallgemeinern. Darüberhinaus wird die Nulldynamik für unendlichdimensionaly Systeme erstmals rigoros definitiert und gezeigt, dass sie bei Systemen mit natürlichzahligem Relativgrad durch eine einzige stark stetige Operatorhalbgruppe charakterisiert werden kann. Dazu wird die Nulldynamikform verwendet. Ein analoges Resultat wird für ein spezielles Randsteuerungsproblem bewiesen, dass durch eine Wärmeleitungsgleichung beschrieben wird. Im Anschluss an diese theoretischen Überlegungen wird bewiesen, dass zwei praktische einsetzbare Ausgangsrückführungsmethode funktionieren: Die erste Methode ist die sogenannte Funnelregelung, ein sehr einfaches Regelgesetz, welches der Trajektorienverfolgung dient. Es wird gezeigt, dass diese Methode efolgreich einsetzbar ist sowohl bei Systemen mit Relativgrad eins und exponenziell stabiler Nulldynamik, als auch bei dem erwähnten speziellen Randsteuerungsproblem.Die zweite Ausgangsrückführung, die untersucht wird dient der Störgrößenunterdrückung. Es ist eine spezielle Form der H-unendlich-Regelung und eng verknüoft mit linear-quadratischer Optimalsteuerung. Während die klassische Lösung dieses wohlbekannten Problems stets einen unendlichdimensionalen Beobachter benötigt, der nicht praktisch implementiert werden kann, wird hier ein endlichdimensionaler Regler konstruiert durch balanciertes Abschneiden. Darüberhinaus wird bewiesen, dass dieser praktisch einsetzbare Regler das Regelziel mit einer Regelgüte erreicht, die vom Approxmationsfehler der Modellreduktion abhängt.

In this thesis we consider time-invariant infinite-dimensional well-posed linear systems that convert an input signal u into an output signal y. In the theory of compatible well-posed linear systems, these processes are described by a differential equation of the formx'(t)=Ax(t)+ Bu(t), y(t)=Cx(t)+Du(t),where A, B, C and D are possibly unbounded operators between infinite-dimensional Hilbert spaces. Generalizing ideas from the finite-dimensional theory, we consider various types of state space transformations in order to analyze the structure of these systems. For systems with compact Hankel operator, we construct output normalizing and balancing transformations with an application to model order reduction. For systems of natural relative degree we employ transformations to obtain operator versions of the well-known Byrnes-Isidori form and a similar, but less popular, zero dynamics form. We establish a universal definition of zero-dynamics for infinite-dimensional systems, and show that they are determined by a single strongly continuous semigroup if the systems has a natural relative degree. Thereby we exploit the aforementioned forms. An analogous result is proven for a special boundary control system described by a heat equation. After these theoretical preparations, two practically applicable output control techniques are proven to work: The first one is funnel control, a very simple control strategy that makes the output follow the reference trajectory in a strict way, i.e. it evolves inside of a funnel that can be specified by the user. While the control law is a very simple algebraic calculation, the challenge is to prove that it works. We show that the funnel control is successfully applicable to systems of relative degree one with exponentially stable zero dynamics and to the previously mentioned boundary control system.The second output control strategy that we employ aims at minimizing noise amplification of the closed-loop system. It is a special version of the famous H^\infty-control problem, and closely related to linear quadratic optimal control. While the solution of these well-studied problems always comprises an infinite-dimensional observer that is impossible to implement in practice, we construct a finite-dimensional controller using an approximation method known as balanced truncation. We prove furthermore that this finite-dimensional controller achieves the control objective with a decline in performance that depends on the approximation error.

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Selig, Tilman: On Output Feedback Control of Infinite-dimensional Systems. 2015.

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