Phase transition diagrams in compressive sensing - computation and analysis

Herrmann, Martin

Abstract: Compressive Sensing (CS) is a relatively new area of research in the field of digital signal processing and enables accurate reconstruction of signals, sampled significantly below the Shannon-Nyquist-Rate, under certain conditions. The method is more complicated than conventional ones and there is, until now, no sufficient bound, which enables the prediction about the success of CS. To nevertheless, make such statements, so called phase transition diagrams (PTD) were introduced. These diagrams display the probability of success as function of the number of samples and nonzero coefficients of the signal. It depicts that two areas are formed, representing the probability of 0 and 1. Both are divided by a relatively sharp transition, which justifies the name of the diagrams. This work, besides theoretical foundations of CS and PTDs, contains two main parts. On the one side the conception design and implementation of an improved MATLAB-based algorithm to estimate PTDs and on the other side, its application to systematically test CS-based algorithms for their performance and dependence against certain parameters. This part depicts that the algorithms clearly differ, regarding their performance, speed and reliability. Although, the examination shows that the choice of parameters has a large influence on certain algorithms. These information are enormously important for scientists and engineers, concerned with compressive sensing.

Zusammenfassung: Compressive Sensing (CS) ist ein relativ neues Forschungsgebiet der digitalen Signalverarbeitung und ermöglicht, unter bestimmten Bedingungen, die fehlerfreie Rekonstruktion von Signalen, die weit unterhalb der Shannon-Nyquist-Rate abgetastet wurden. Das Verfahren ist komplizierter als bisherige und es gibt bis heute keine hinreichenden Schranken, die eine konkrete Vorhersage des Erfolgs von CS ermöglichen. Um solche Aussagen dennoch treffen zu können, wurden sogenannte Phasendiagramme (engl. Phase Transition Diagrams, Abk. PTD) eingeführt. Diese tragen die Erfolgswahrscheinlichkeit als Funktion von der Anzahl der Abtastwerte und der Anzahl der von Null abweichenden Koeffizienten des Signals ab. Es zeigt sich, dass sich zwei Bereiche mit den Wahrscheinlichkeiten 0 und 1 bilden, getrennt durch einen relativ scharfen Übergang, welcher den Namen der Diagramme begründet. Diese Arbeit enthält neben theoretischen Grundlagen zu CS und PTDs zwei wesentliche Teile. Zum einen die Konzeption und Implementierung eines verbesserten MATLAB-basierten Algorithmus zur Schätzung von PTDs und zum anderen dessen Anwendung, zur Untersuchung CS-basierter Algorithmen, um deren Leistungsfähigkeit und Abhängigkeit gegenüber bestimmter Modellparameter systematisch zu untersuchen. In diesem Teil wird gezeigt, dass sich die Algorithmen deutlich hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit, Geschwindigkeit und Zuverlässigkeit unterscheiden. Außerdem zeigen die Untersuchungen, dass die Wahl der verwendeten Modellparameter großen Einfluss auf bestimmte Algorithmen hat. Diese Informationen sind sowohl für Wissenschaftler als auch Ingenieure, die sich mit compressive sensing befassen, enorm wichtig.

Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

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Herrmann, Martin: Phase transition diagrams in compressive sensing - computation and analysis. 2015.

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