Spectral properties of a discrete lévy-driven metastable system

Burghoff, Toralf

In dieser Dissertation wird das Spektralverhalten einer Markov-Kette Z(ε) untersucht, wobei ε ein kleiner Parameter ist. Diese Kette wird durch die Anwendung einer zeitlichen und räumlichen Diskretisierung auf eine Sprungdiffusionsgleichung mit einem α-stabilen Lévy-Rauschterm und einem Mehrtopfpotential mit n lokalen Minima induziert. Die Intensität des Rauschterms wird dabei durch ε kontrolliert. Zunächst wird gezeigt, dass diese Marko-Kette ein metastabiles Verhalten aufweist, d.h. nach geeigneter ε-abhängiger Reskalierung der Zeitachse verhält sie sich im Grenzwert ε gegen 0 wie ein markovscher Sprungprozess Y, der auf der Menge der lokalen Minima definiert ist. Dieses Resultat wird anschließend ausgenutzt um zu beweisen, dass das Spektrum des infinitesimalen Erzeugers im Wesentlichen aus zwei Teilen besteht: Der erste Teil beinhaltet genau n Eigenwerte, die gegen die Eigenwerte von Y konvergieren, und ist vom zweiten Teil, dem Restspektrum, durch eine Spektrallücke getrennt. Darüber hinaus wird gezeigt, dass die Eigenvektoren, die zu den ersten n Eigenwerten gehören, annähernd (bzgl. ε) konstant über den Potentialtöpfen sind. Das abschließende Kapitel behandelt einen anderen, und zwar potentialtheoretischen, Ansatz zur Berechnung der ersten n Eigenwerte. Ausgegangen wird dabei von einem System von linearen Gleichungssystemen, die einer diskreten Version eines Poisson-Problem entsprechen. Unter Annahme einer rein technischen Bedingung wird gezeigt, dass mit Hilfe von Lösungen dieser Systeme eine Matrix konstruiert werden kann, dessen Eigenwerte annähernd die inversen Eigenwerte von Z(ε) sind.

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Burghoff, Toralf: Spectral properties of a discrete lévy-driven metastable system. 2015.

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