Der Darstellungstyp des Charakterrings einer endlichen Gruppe

Fritzsche, Tim GND

Eine grundlegende Frage bei der Untersuchung von Ordnungen ist die nach deren Darstellungstyp. Beispielsweise wird diese für Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper durch das wichtige Resultat, dass deren Idealklassengruppen endlich sind, beantwortet. Ordnungen, die häufig im Zusammenhang mit der Betrachtung endlicher Gruppen auftauchen, sind Gruppen-, Burnside- und Charakterringe. Sowohl auf den Darstellungstyp des Gruppenrings als auch auf den des Burnsiderings einer endlichen Gruppe kann man aus Strukturaussagen zu dieser Gruppe schließen. Vor allem ihre Sylowgruppen spielen dabei eine wesentliche Rolle. In dieser Arbeit wird der Darstellungstyp des Charakterrings einer endlichen Gruppe untersucht. Es wird eine Liste der Sylowgruppen angegeben, die eine endliche Gruppe, deren Charakterring endlichen Darstellungstyp hat, besitzen kann. Insbesondere erhält man, dass solche Sylowgruppen abelsch sein müssen, wenn ihre Ordnung ungerade ist. Im weiteren Verlauf wird versucht, hinreichende Bedingungen dafür, dass der Charakterring einer endlichen Gruppe G endlichen Darstellungstyp hat, zu finden. Diese setzen sich aus lokalen Aussagen bezüglich der Primteiler der Ordnung von G zusammen. Der Fall, dass G für eine Primzahl p zyklische p-Sylowgruppen besitzt, wird vollständig beschrieben und für den Fall, dass G elementar-abelsche p-Sylowgruppen besitzt, werden Teilresultate gezeigt.

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Fritzsche, Tim: Der Darstellungstyp des Charakterrings einer endlichen Gruppe. 2014.

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