Modalwertschätzung in der nichtparametrischen Kurvenschätzung und Blockwise Bootstrap für den geschätzten empirischen Prozess

Wieczorek, Barbara GND

Die folgende Arbeit befasst sich mit Fragestellungen der asymptotischen Statistik. Der erste Teil ist der Modalwertschätzung im Rahmen der nichtparametrischen Kurvenschätzung in verschiedenen Modellen gewidmet. Zunächst wird das Problem der Modalwertschätzung in Dekonvolutionsmodellen betrachtet, wo interessierende Zufallsvariablen nicht direkt beobachtet werden können, sondern mit einer additiven Störgröße versehen sind. Durch Verwendung von für diese Problematik üblichen Kernschätzern für die Kurven selbst werden Konvergenzraten für den Modalwertschätzer erzielt, der durch Maximierung der Kurvenschätzer definiert ist. Die erzielten Konvergenzraten im Modell der Dichteschätzung und der Errors-in-Variables-Regression sind von der Glattheit der mindestens als zweimal stetig differenzierbar angenommen Kurve sowie der Schlechtgestelltheit des Dekonvolutionsproblems abhängig und erweisen sich als asymptotisch optimal. Im Modell mit direkten Beobachtungen wird der Fall einer Kurve mit nichtdifferenzierbarer Modalstelle unter Vorliegen stark mischender Beobachtungen beleuchtet. Zur Schätzung des Modalwertes wird sowohl die Maximierung des Kurvenschätzers über dem Kontinuum sowie über einem Gitter herangezogen, beide Schätzer erweisen sich wiederum als asymptotisch optimal. Der zweite Teil dieser Arbeit behandelt den empirischen Prozesses mit geschätztem Parameter, basierend auf schwach abhängigen Beobachtungen. Zahlreiche Teststatistiken beruhen auf dem geschätzten empirischen Prozess, jedoch ist deren Verteilung von unbekannten Parametern abhängig. Daher wird der Originalprozess durch einen Prozess imitiert, welcher auf Pseudo-Beobachtungen beruht, die durch ein geeignetes Resampling-Verfahren generiert wurden. Für den Prozess der zugrundeliegenden Beobachtungen wird das auf Doukhan und Louhichi basierende Abhängigkeitskonzept der -Weak Dependence verwendet, welches allgemeiner ist als das Mixing-Konzept und etwa auch innovationsgesteuerte Prozesse mit diskret verteilten Innovationen umfasst. Es wird zunächst die Verteilungskonvergenz des geschätzten empirischen Prozesses gegen einen zentrierten Gaußprozess nachgewiesen. Weiterhin wird für den Bootstrap-Prozess die Verteilungskonvergenz in Wahrscheinlichkeit gegen einen zentrierten Gaußprozess gezeigt und daraus für geeignete Teststatistiken die schwache Konsistenz des Bootstrap-Verfahrens in der Supremums-Metrik abgeleitet.

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Wieczorek, Barbara: Modalwertschätzung in der nichtparametrischen Kurvenschätzung und Blockwise Bootstrap für den geschätzten empirischen Prozess. 2013.

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