Cell division processes in tessellations : a stochastic geometry approach

Biehler, Eike GND

Ein zufälliges Mosaik in einem Fenster ist die Zerlegung eines kompakten und konvexen Polytops in (zufällig bestimmte) disjunkte Zellen und die Ränder der Zellen. In der Dissertation wird – in Anlehnung an eine Arbeit von Cowan – jeder Zelle eine exponentialverteilte Lebenszeit zugeordnet, die (unter der Bedingung der Existenz einer bestimmten Zellkonfiguration, zu der diese Zelle gehört) unabhängig von den Lebenszeiten der anderen Zellen ist. Dabei entspricht der Parameter der Exponentialverteilung einer Kenngröße, die abhängig von der Zelle sein kann. Auf diese Weise wird eine Auswahlregel (selection rule) definiert. Nach Ablauf der Lebenszeit einer Zelle wird diese nach einer Teilungsregel (division rule) geteilt. Da vier Auswahl- und zwei Teilungsregeln in der Dissertation verwendet werden, ergeben sich insgesamt acht Cowan-Modelle. Das STIT-Modell, deren Mosaike stabil in Bezug auf Iteration sind, wurde von Mecke, Nagel und Weiß eingeführt. Es wird gezeigt, dass dieses Modell äquivalent zu einem der Cowan-Modelle ist. Weiterhin wird die Äquivalenz verschiedener anderer Konstruktionen mit einigen der Cowan-Modelle dargestellt. Für die acht Cowan-Modelle werden einige Mittelwerte berechnet, etwa die mittlere Anzahl von Zellen zur Zeit t. In einem Kapitel wird bewiesen, dass die STIT-Konstruktion die einzige konsistente Konstruktion unter den Cowan-Modellen ist: Es ist bei ihnen unerheblich, ob man das Mosaik in einem kleineren Fenster konstruiert oder zunächst in einem größeren Fenster und anschließend auf das kleinere Fenster einschränkt. Da sich aus der Konsistenz der STIT-Konstruktion ergibt, dass man ein solches Mosaik in der ganzen Ebene erzeugen kann, war die Frage, ob dies für andere Cowan-Modelle auch ohne Konsistenz funktioniert. Für das flächengewichtete Cowan-Modell mit in-cell division rule werden notwendige Bedingungen bewiesen, damit ein sich ausdehnendes Mosaik unter Manipulation der Zeit gewisse Stabilitätseigenschaften erhält.

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Biehler, Eike: Cell division processes in tessellations. a stochastic geometry approach. 2012.

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