Beiträge zur Selbstaffinität konvexer Polygone

Blechschmidt, Katharina

Ein konvexes Polygon P ist k-selbstaffin (bzw. k-selbstähnlich), wenn es in k ≥ 2 Polygone zerlegt werden kann, die affingleich (bzw. ähnlich) zu P sind. Es ist bewiesen, dass P dann nur höchstens fünf Ecken besitzen kann. Dabei ist bekannt, dass jedes Dreieck selbstähnlich und jedes konvexe Viereck selbstaffin ist. Weiterhin weiß man, dass einerseits ein selbstaffines konvexes Fünfeck existiert, aber andererseits das reguläre Fünfeck nicht selbstaffin ist. In dieser Arbeit wird nun zunächst gezeigt, dass jedes Fünfeck, dessen Innenwinkelgrößen alle 108° betragen, nicht selbstaffin ist. Daraufhin werden Überlegungen dargestellt, dass ein Fünfeck ebenfalls nicht selbstaffin ist, wenn die Innenwinkelgrößen leicht von 108° abweichen. Desweiteren besteht die Vermutung, dass kein selbstähnliches konvexes Fünfeck existiert. Die Innenwinkelgrößen, die ein solches haben müsste, sind bereits bekannt. Ebenfalls ist die Reihenfolge der Winkel bewiesen, jedoch bleiben dabei zwei mögliche Orientierungen übrig. Es wird gezeigt, dass die Fünfecke, in die das ursprüngliche Fünfeck zerlegt ist, nicht alle gleichorientiert sein können.

A convex polygon P is called k-self-affine (or k-self-similar) if it can be dissected into k ≥ 2 affine (or similar) images of itself. Self-affine convex polygons have at most five vertices. It is a fact that every triangle is self-similar and that every convex quadrangle is self-affine. Furthermore there exists a self-affine convex pentagon, but the regular pentagon is not self-affine. In this work it is first shown that every pentagon that has only inner angles of size 108° is not self-affine. Then, considerations are given that a pentagon is not self-affine as well, if the sizes of the inner angles differ slightly from 108°. Moreover, it is conjectured that there is no self-similar convex pentagon. Some deliberations about that are shown.

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Blechschmidt, Katharina: Beiträge zur Selbstaffinität konvexer Polygone. 2012.

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