Anwendung von stetigen Runge-Kutta-Verfahren auf Probleme der optimalen Steuerung

Hemmelmann, Dirk GND

In dieser Arbeit wird mit Hilfe stetiger Erweiterungen von Runge-Kutta-Verfahren eine stetige Diskretisierungsmethode für optimale Steuerungsprobleme vorgestellt. Stetige Diskretisierungsmethoden liefern dabei nicht nur eine Folge von Näherungen auf immer feiner werdenden Zeitgittern, sondern eine Folge von stetigen Näherungslösungen, welche die Optimallösung auf dem ganzen Zeitintervall bezüglich geeigneter Sobolev-Normen mit hoher Genauigkeit approximieren. Es wird in einer vollständigen mathematischen Konvergenzanalyse gezeigt, dass man unter einer Glattheitsvoraussetzung und der Koerzivitätsbedingung die gleiche Konvergenzordnung für die Diskretisierung des Steuerungsproblems erhält, wie das stetige Runge-Kutta-Verfahren in den Gitterpunkten und an allen Zwischenpunkten hat. Es wird ein indirektes Verfahren zur numerischen Lösung eines Problems der optimalen Steuerung vorgeschlagen, und gezeigt das die Verwendung des indirekten Verfahrens keine relevanten Nachteile, gegenüber einem direkten Verfahren, angewandt auf ein Steuerungsproblem, welches zuvor auf ein Zeitgitter diskretisiert wurde, mit sich bringt. An Modellbeispielen wird das Verfahren getestet und die Konvergenzordnung der Diskretisierung visualisiert. Als Grundlage dieser Arbeit dienten einige Arbeiten von A. Dontchev und W. W. Hager, in denen die diskrete Konvergenz von Runge-Kutta-basierten Diskretisierungen untersucht wurden. Die Diskretisierung mit stetigen Runge-Kutta-Verfahren hat den Vorteil, dass die diskretisierten Operatoren dieselben Bild- und Urbildräume haben wie der stetige Operator. Stetige Runge-Kutta-Verfahren sind bei der numerischen Lösung retardierter Differentialgleichungen verbreitet und dementsprechend gut untersucht. Eine ähnliche Diskretisierung von Steuerungsproblemen mit stetigen Runge-Kutta-Verfahren wurde bisher nur in einer Arbeit von Diele, Marangi und Ragni vorgeschlagen, wo man allerdings keine mathematisch begründete Fehlerabschätzung findet.

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Hemmelmann, Dirk: Anwendung von stetigen Runge-Kutta-Verfahren auf Probleme der optimalen Steuerung. 2011.

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