Simplicial Methods for Solving Selected Problems in General Relativity Numerically : Regge Calculus and the Finite-Element Method

Peuker, Frank GND

In der vorliegenden Arbeit werden zwei numerische Verfahren betrachtet, welche spezielle Probleme der Allgemeine Relativitätstheorie näherungsweise berechnen können. Dies ist zum einen die Finite-Element-Methode und zum anderen das Regge-Kalkül. Beide Verfahren basieren auf einer Zerlegung des betrachteten Gebietes in Simplizes. Zahlreiche dieser Simplizialzerlegungen und ihre Anwendbarkeit auf beide Verfahren wurden in dieser Arbeit eingehend untersucht bevor diese zur Lösung des Problemsä verwendet wurden. Um Probleme aus der Allgemeinen Relativitätstheorie numerisch zu berechnen, wird in dieser Arbeit die 3+1-Zerlegung angewendet. Diese unterteilt die Lösung des Problems in zwei Teilschritte. Im ersten Schritt werden Anfangsdaten bestimmt mit Hilfe derer man im zweiten Schritt ein Zeitentwicklungsschema anwenden kann. Der erste Teil dieser Arbeit demonstriert, wie man das Anfangsdaten-Problem für spezielle Probleme unter Verwendung der Finiten-Element-Methode lösen kann. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich der Aufgabe, Anfangsdaten mit Hilfe des Regge-Kalküls zu entwickeln. Während viele Formulierungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie koordinatenabhängig sind und somit eine Vielzahl an Lösungen ein und dasselbe Problem beschreiben, verwendet das Regge-Kalkül Kantenlängenquadrate als Variablen. Die Länge einer Kante ist unabhängig von dem zugrundeliegenden Koordinatensystem. Die Lösung eines Problems wird somit durch genau einen Satz an Kantenlängenquadraten repräsentiert. Dass man auf das Quadrat dieser Länge zugreift, liegt daran, dass die vierdimensionale Raumzeit nicht euklidisch ist, sondern Minkowski-Signatur besitzt. Abhängig vom Vorzeichen des Kantenlängenquadrates ergibt sich eine räumliche Ausdehnung oder eine Zeitdifferenz. Anhand vieler Beispiele werden beide Verfahren untersucht. Für die Anfangsdaten wurde ein statisches und ein sich rotierendes schwarzes Loch sowie zwei sich aufeinander zubewegende schwarze Löcher betrachtet. Für die Zeitentwicklung wurden Beispiele der Apples-With-Apples-Testsuite, das Kasner-Universum und ein statisches schwarzes Loch untersucht. Es zeigt sich, das beide Verfahren auf einfache Probleme der Numerischen Relativitätstheorie anwendbar sind. Die Finite-Element-Methode liefert Anfangsdaten auf einer Excision-Domäne, wobei hier einer selbst konstruierten Triangulierung einer unstrukturierten der Vorzug zu geben ist. Im Regge-Kalkül ist es erstmals gelungen, unstrukturierte Gitter, welche von externen Gittergeneratoren erstellt werden, als Grundlage für Zeitentwicklungen im Regge-Kalkül zu benutzen. Damit können auch komplexe Gebiete schnell modelliert werden. Des weiteren zeigen die Ergebnisse dieser Arbeit, dass das QR-Verfahren einem sonst üblichen LU-Verfahren vorzuziehen ist. Vor allem in fast flachen Raumzeiten und bei der Zeitentwicklung von unstrukturierten Gittern zeigt sich, das erst durch die Anwendung des QR-Verfahrens eine stabile Simulation möglich ist. Durch den Verzicht auf die Anwendung einer simplizialen Bianchi-Identität gelingt es entsprechende Probleme zu lösen und die Ergebnisse mit bestehenden Resultaten aus Finite-Differenzen-Verfahren zu vergleichen. Erstmals wurde die Konvergenz des Regge-Kalk¸ls anhand integraler Normen der Metrik untersucht. Bisher wurden nur Abweichungen von Kantenlängen diskutiert oder das Residuum der Regge-Gleichungen betrachtet. Mittels des Linear-Wellen-Tests aus der Apples-With-Apples-Testsammlung wird das Verhalten der numerischen Lösung in den neuen Normen eingehend untersucht. Hierbei wurde auch eine aus der Kausalität abgeleitete Courant-Friedrichs-Levi-Bedingung numerisch bestätigt. Simulationen des Kasner-Unviersums und des Gowdy-Universums zeigen, dass analytisch bekannte Lösungen qualitativ und quantitativ erfolgreich numerisch approximiert werden können. Im ersten Fall stimmt die zeitentwickelte Lösung mit der analytischen bis auf einen relativen Fehler in der Größenordnung von 0,001% überein. Auch im Kasner-Universum wird die theoretisch ermittelte Courant-Friedrichs-Levi-Bedingung numerisch bestätigt. Zudem ist es auch erstmals gelungen, Probleme auf Domänen mit räumlichen Rand zu lösen, wobei geeignete Bedingungen an Randkanten ausschlaggebend für die Stabilität sind. Hiermit wurden auf unstrukturierten Gittern die gestörte flache Raumzeit und die Schwarzschild-Raumzeit zeitentwickelt. Es zeigt sich, das mit besseren Winkeln des Gitters auch die Zeitentwicklung stabiler wird. Das Regge-Kalkül wie auch die Finite-Element-Methode sind vielversprechende und wie in dieser Arbeit gezeigt wurde funktionierende Lösungsansätze für einfache Probleme der Numerischen Relativitätstheorie. Durch die höhere Flexibilität dieser Simplizialmethoden sind sie interessante Alternativen zu bisherigen, auf Finiten Differenzen basierenden Ansätzen. Weiterführende Arbeiten auf diesem Gebiet könnten beide Methoden dahingehend weiterentwickeln komplexere Probleme, wie das Einspiralen zweier schwarzer Löcher, zu lösen. Solche alternativen Lösungen könnten bestehende Verfahren verifizieren und erweitern.

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Peuker, Frank: Simplicial Methods for Solving Selected Problems in General Relativity Numerically. Regge Calculus and the Finite-Element Method. 2010.

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