Apparent Horizons and Marginally Trapped Surfaces in Numerical General Relativity

Lages, Norbert GND

Diese Dissertation beschäftigt sich mit Marginal äußerlich Gefangenen Flächen (MGF) in der numerischen allgemeinen Relativitätstheorie. MGF sind geschlossene zweidimensionale Flächen um schwarze Löcher, auf denen die Expansion nach außen gerichteter Null-Linien verschwindet. Als erster Punkt wurde untersucht ob oder wie sich die inneren MGF überschneiden können, wenn sich zwei schwarze Löcher einander nähern. Im Gegensatz zu von anderen Gruppen publizierten Ergebnissen konnte sowohl für Achsensymmetrie als auch für zwei einspiralende schwarze Löcher keine Überlappung gefunden werden. Dieser Unterschied wurde mit Hilfe von Einbettungsdiagrammen erklärt. MGF werden durch eine elliptische Differentialgleichung beschrieben. Eine Lösungsmöglichkeit sind Newton-Verfahren. Als zweiter Punkt wurde ein Methode untersucht welche den Konvergenzbereich dieser Newton-Verfahren erhöht. Dazu wird eine veränderte Funktion betrachtet, welche durch Multiplikation der Expansion mit weiteren Termen gebildet wird. Parallel dazu wird untersucht in wiefern sich Eigenwerte zur Vorhersage der Konvergenz eignen. Diese Eigenwerte werden von der Iterationsmatrix genommen, welche bei der Lösung eines Schrittes der Newton-Iteration auftritt. Obwohl die Vorhersagen mathematisch nicht streng hergeleitet werden können, zeigt sich in der Praxis doch eine überraschend gute Verwendbarkeit der Eigenwerte.

The main topic of this dissertation are marginally outer trapped surfaces (MOTS) in numerical general relativity. MOTSs are closed two-dimensional surfaces around black holes, at which the expansion of outgoing null rays vanishes. They are used to determine the approximate location of the event horizon at one instant of time or to give the mass and spin of the enclosed black hole. It was examined whether or how MOTSs can overlap when two black holes come close to each other. In contrast to previously published results from other groups no overlap was found, neither for the axisymmetric case nor for the inspiraling case of two black holes. This discrepancy was explained by the use of embedding diagrams. MOTSs are described by an elliptic partial differential equation. Newton methods can solve these kinds of problems. One change was examined that enlarges the convergent regime for these methods. For that the function under consideration was multiplied by an appropriate term. Alongside it was considered how eigenvalues can serve as an indicator for the convergence of the Newton method. These eigenvalues are taken from the iteration matrix that appears when solving one step of the Newton iteration. It is not possible to show the predictive power with mathematical rigour. Nevertheless in praxis the method shows good results.

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Lages, Norbert: Apparent Horizons and Marginally Trapped Surfaces in Numerical General Relativity. 2010.

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