A Lin's method approach to heteroclinic connections involving periodic orbits - Analysis and numerics

Rieß, Thorsten GND

The topic of the thesis is the bifurcation analysis of heteroclinic cycles connecting a hyperbolic equilibrium and a hyperbolic periodic orbit. An extension of Lin's method that is based on the coupling of the global continuous system and the discrete system that describes the dynamics near the periodic orbit is developed in the first part. The method allows to formulate bifurcation equations for the given scenario. The bifurcation equations for homoclinic orbits to the equilibrium and for homoclinic orbits to the periodic orbit are qualitatively solved and discussed, the case of a quadratic tangency is also considered. In the second part a numerical method based on the theoretical results is developed that allows to find and continue in parameters a heteroclinic connection between an equilibrium and a periodic orbit. The method is demonstrated on three selected examples and the theoretical results from the first part are verified. An extension of this numerical method to orbits that connect two periodic orbits is also given.

Die Dissertationsschrift beschäftigt sich mit der Bifurkationsanalyse von heteroklinen Zyklen, die eine hyperbolische Gleichgewichtslage und einen hyperbolischen periodischen Orbit miteinander verbinden. Im ersten Teil der Arbeit wird eine Erweiterung von Lins Methode entwickelt, die auf einer Kopplung des globalen kontinuierlichen Systems und des diskreten Systems, das die Dynamik in der Umgebung des periodischen Orbits beschreibt, beruht. Die Methode erlaubt es, Bifurkationsgleichungen für das gegebene Szenario zu formulieren. Die Bifurkationsgleichungen für homokline Orbits an die Gleichgewichtslage und homokline Orbits an den periodischen Orbit werden qualitativ gelöst und diskutiert, ebenso wird der Fall einer quadratischen Berührung behandelt. Im zweiten Teil der Dissertation wird auf Basis der theoretischen Ergebnisse eine numerische Methode entwickelt, die es erlaubt, verbindende Orbits zwischen Gleichgewichtslagen und periodischen Orbits zu finden und im Parameterraum zu verfolgen. Die Methode wird an drei ausgewählten Beispielen demonstriert, dabei werden die theoretischen Ergebnisse aus dem ersten Teil der Arbeit bestätigt. Eine Erweiterung der numerischen Methode auf verbindende Orbits zwischen zwei hyperbolischen periodischen Orbits wird abgeleitet.

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Rieß, Thorsten: A Lin's method approach to heteroclinic connections involving periodic orbits - Analysis and numerics. 2008.

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