Convergence in Distribution of Random Closed Sets and Applications in Stability Theory of Stochastic Optimisation

Gersch, Oliver

Convergence in Distribution of Random Closed Sets and Applications in Stability Theory of Stochastic Optimisation Dipl. Math. Oliver Gersch Zusammenfassung: In dieser Dissertation wird die einseitige Konvergenz in Verteilung fuer abgeschlossene zufaellige Mengen und deren Anwendung auf stochastische Optimierungsprobleme untersucht. Ausgehend von den Konvergenzbegriffen von Kuratowski-Painleve wird Konvergenz in Verteilung basierend auf Hit- und Miss- Topologien definiert. Wichtige Hilfsmittel wie das Continuous Mapping Theorem und halbstetige Verallgemeinerungen werden bereitgestellt. Es wird eine Vielzahl von hinreichenden Bedingungen fuer die Konvergenz der Epigraphen zufaelliger unterhalbstetiger Funktionen bewiesen. Dabei wird gezeigt, wie Klassen stochastischer Prozesse dem Mengenkonvergenzansatz zugaenglich gemacht werden koennen. Neben der unterhalbstetigen Modifikation der Skorohod-Raeume D wird mit Hilfe der Methode der Konvergenz endlichdimensionaler Verteilungen ein neues Konvergenzkriterium fuer die Konvergenz stochastischer Prozesse mit unterhalbstetigen Trajektorien bewiesen. Aussagen ueber die Konvergenz in Verteilung der optimalen Werte und der Loesungsmengen stochastischer Optimierungsprobleme werden hergeleitet und fuer einseitige Abschaetzungen und Konfidenzbereiche angewendet. Im letzen Kapitel wird gezeigt, wie sich das Konzept der einseitigen Mengenkonvergenz in Verteilung auf die Menge der effizienten Punkte und die Loesungsmengen stochastischer Vektoroptimierungsprobleme anwenden laesst. Hierbei wird wie in der eindimensionalen Optimierung auch die naeherungsweise Optimalitaet (epsilon optimality) betrachtet. Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Silvia Vogel, TU-Ilmenau Doc. RNDr. Petr Lachout, Charles University in Prague Prof. Dr. rer. nat. Eckhard Liebscher, HS Merseburg Tag der Einreichung: 18.04.2006 Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 26.01.2007

In this dissertation one sided convergence in distribution of random closed sets and its application to stochastic optimisation problems are investigated. Starting with the convergence concepts of Kuratowski- Painleve convergence in distribution based on hit- and miss-topologies is defined. Important tools like the Continuous Mapping Theorem and semicontinuous versions are provided. A variety of sufficient conditions for the convergence of the epigraphs of random lower semicontinuous functions is proven. It is shown, how classes of stochastic processes can be made accessible to the concept of set convergence. Besides the lower semicontinuous modification of the Skorohod-spaces D a new convergence criterion for stochastic processes with lower semicontinuous trajectories is proven by using the method of convergence of finite dimensional distributions. Results for the convergence in distribution of optimal values and solution sets of stochastic optimisation problems are derived and applied to one-sided estimates and confidence regions. In the final chapter it is shown, how the concept of one-sided set convergence in distribution can be applied to the set of efficient points and the solutions of vector optimisation problems. Like in the one-dimensional case epsilon optimality is taken into consideration.

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Gersch, Oliver: Convergence in Distribution of Random Closed Sets and Applications in Stability Theory of Stochastic Optimisation. 2007.

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