Bifurcations from homoclinic orbits to a saddle-centre in reversible systems

Klaus, Jenny

In der Dissertation werden Bifurkationen homokliner Orbits zu einem Sattel- Zentrum in reversiblen Systemen betrachtet. Das Sattel-Zentrum wird durch ein Paar rein imaginärer Eigenwerte generiert, der Rest des Spektrums besteht aus Eigenwerten mit einem von Null verschiedenen Realteil. Somit ist die zwei- dimensionale Zentrumsmannigfaltigkeit mit einer Familie symmetrischer, periodischer Orbits ausgefüllt. In der Dissertation wurde Lin's Methode auf den Fall nicht-hyperbolischer Gleichgewichtslagen erweitert. Ursprünglich wurde diese Methode für Untersuchungen des Bifurkationsverhaltens von Orbits, welche hyperbolische Gleichgewichtslagen verbinden, entwickelt. Zuerst werden in der Dissertation 1-homokline Orbits zur Zentrumsmannigfaltigkeit betrachtet. Dabei werden 1-homokline Orbits zur Gleichgewichtslage, 1-homokline Orbits zu periodischen Orbits der Zentrumsmannigfaltigkeit und heterokline Orbits, die verschiedene Orbits der Zentrumsmannigfaltigkeit verbinden, unterschieden. Ein zweiter Aspekt der Dissertation ist die Detektion von verzweigenden symmetrischen, 1-periodischen Orbits. Dabei dienen die verzweigenden 1- Homoklinen zur Zentrumsmannigfaltigkeit als Basis für die Diskussion der zugehörigen Verzweigungsgleichungen.

Within this thesis bifurcations of homoclinic orbits to a saddle-centre equilibrium in reversible systems are considered. The saddle-centre equilibrium is generated by a pair of purely imaginary eigenvalues; the rest of the spectrum consists of eigenvalues with non-zero real part. Hence the two-dimensional centre manifold of the equilibrium is filled with a family of periodic orbits. In the thesis Lin's method was extended to the case of non-hyperbolic equilibria. Originally this method was developed for investigations of the bifurcation behaviour of orbits connecting hyperbolic equilibria. First, the thesis focusses on bifurcating one-homoclinic orbits to the centre manifold. Here one-homoclinic orbits to the equilibrium, one-homoclinic orbits to a periodic orbit of the centre manifold and heteroclinic orbits connecting different orbits of the centre manifold are distinguished. A second aspect of the thesis is the detection of bifurcating symmetric one-periodic orbits. There the bifurcating one-homoclinic orbits to the centre manifold serve as a basis for the discussion of the corresponding bifurcation equations.

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Klaus, Jenny: Bifurcations from homoclinic orbits to a saddle-centre in reversible systems. 2007.

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