Charge degrees of freedom on frustrated lattices

Pollmann, Frank GND

Ladungsfreiheitsgrade auf frustrierten Gittern Zusammenfassung Elektronische Korrelationen spielen in der Physik der kondensierten Materie eine wichtige Rolle, sie führen zu Phänomenen wie Magnetismus oder dem Mott--Hubbard Metall--Isolator--Übergang. In dieser Arbeit wird eine neuartige Klasse von Modellen stark korrelierter Elektronen betrachtet [fulde2002]. Diese ermöglicht aufgrund des Wechselspiels zwischen starken Korrelationen und geometrischer Frustration das Auftreten fraktional geladener Teilchen in zwei Dimensionen (2D) und drei Dimensionen (3D). Geometrisch frustrierte Systeme sind durch eine hohe Dichte niedrig liegender Anregungen gekennzeichnet welche zu einer großen Suszeptibilität und somit zu interessanten physikalischen Effekten führen kann. Diese Arbeit enthält eine systematische Untersuchung von stark korrelierten spinlosen Fermionen auf bestimmten frustrierten Gittern. Insbesondere wird der interessante Grenzfall untersucht, in dem eine Wechselwirkung V zwischen benachbarten Plätzen groß gegenüber dem Hüpfmatrixelement |t| ist. In diesem Fall können fraktionale Ladungen \pm e/2 realisiert werden. Im klassischen Grenzfall (t=0) führt die geometrische Frustration zu einer makroskopischen Entartung und alle Grundzustände können, abhängig vom Füllfaktor, auf Schleifen- - beziehungsweise Dimer--Konfigurationen auf Gittern abgebildet werden. Zum Beispiel können die klassischen Grundzustände des halb gefüllten Checkerboard-- Gitters auf dicht gepackte Schleifen--Konfigurationen auf dem Quadrat—Gitter abgebildet werden. Die Korrelationsfunktionen zwischen zwei Defekten (zwei fraktionalen Ladungen) werden jeweils für Schleifen-- und Dimer--Modelle auf unterschiedlichen Gittern analytisch und numerisch berechnet. Die Ergebnisse zeigen eine algebraische Abnahme mit der Entfernung auf 2D bipartiten Gittern und eine exponentielle auf dem 2D Dreiecks--Gitter, welches nicht bipartit ist. Die Korrelationen auf dem 3D bipartiten Diamant--Gitter fallen exponentiell mit dem inversen Abstand ab. Die makroskopische Entartung des Grundzustandes im klassischen Grenzfall wird bei endlichem t durch Quantenfluktuationen aufgehoben. Wir berechnen mit Hilfe der numerischen Diagonalisierung den quantenmechanischen Grundzustand sowie die niedrig liegenden Anregungen auf kleinen Checkerboard--Clustern. Für den Fall |t|\ll V ist ein effektiver Hamilton--Operator in niedrigster Ordnung durch Ringaustausch um Hexagone (\sim t^{3}/V^{2}) gegeben [runge2004]. Eine Eichtransformation ermöglicht es, das fermionische Vorzeichenproblem für den Grundzustand und die niedrig liegenden Anregungen zu eliminieren. Folglich kann das System bezüglich dieser Anregungen durch ein äquivalentes bosonisches System beschrieben werden. Der quantenmechanische Grundzustand zeigt eine langreichweitige Ordnung. Zwei statische fraktionale Ladungen erfahren eine gegenseitige anziehende Kraft, welche unabhängig vom Abstand ist. Diese resultiert aus einer Reduktion der Quantenfluktuationen und der Polarisation des Vakuums entlang einer Linie, welche die beiden fraktionalen Ladungen miteinander verbindet. Die berechneten Spektralfunktionen zeigen im niedrig energetischen Bereich eine breite Struktur, welche durch die Dynamik der fraktional geladenen Anregungen entsteht. In den Spektralfunktionen zeigen sich Signaturen von Landau'schen Quasiteilchen mit großer räumlicher Ausdehnung (gebundene Paare von zwei fraktional geladenen Teilchen). Berechnungen der optischen Leitfähigkeit zeigen, wie fraktionale Ladungen zur elektrischen Leitfähigkeit beitragen. Durch eine geeignete Erweiterung unseres Modells kann man erreichen, dass es für einen Punkt im Parameterraum exakt lösbar wird. Dieser Punkt hat große Ähnlichkeit mit dem Rokhsar--Kivelson Punkt des Quanten--Dimer Modells [rokhsar1988]. An diesem Punkt sind die fraktionalen Ladungen ungebunden. Für ein tieferes Verständins des betrachteten Modells auf dem Checkerboard--Gitter führen wir eine Abbildung auf eine U(1) Gitter--Eichtheorie ein. Diese stellt einen Bezug zwischen fraktionalen Ladungen auf frustrierten Gittern und der kompakten Quantenelektrodynamik in 2+1 Dimensionen her. Des weiteren können wir mit Hilfe einer Dualitätstransformation unser Modell auf das Höhenmodell abbilden. Für eine erste Untersuchung eines 3D Systems mit fraktionalen Ladungen leiten wir einen effektiven Hamilton--Operator für das halb gefüllte Pyrochlor--Gitter her. Mit Hilfe von numerischen Diagonalisierungen berechnen wir den Grundzustand von kleinen Pyrochlor--Gittern. Qualitative Unterschiede und Ähnlichkeiten zum Grundzustand des oben beschriebenen Checkerboard--Gitters werden diskutiert.

Electronic correlations play an important role in condensed matter physics, resulting in phenomena such as magnetism or Mott-Hubbard metal-insulator transitions. In this thesis, a novel class of models of strongly correlated electrons is considered. It exhibits fractionally charged excitations in two dimensions (2D) and three dimensions (3D), arising from the interplay of strong correlations and the geometrical frustration of the underlying lattice [fulde2002]. Geometrically frustrated systems are generally characterized by a high density of low-lying excitations which leads to large susceptibilities and thus to interesting physical effects. The thesis comprises a systematic study of strongly correlated spinless fermions on certain geometrically frustrated lattices. Particular emphasis is placed on the case where a nearest-neighbor repulsion V is large compared with intersite hopping |t|. In that case, the model supports fractional charges \pm e/2. In the classical limit, t=0, frustration leads to a macroscopic groundstate degeneracy and all ground states can be mapped to fullypacked dimer or loop coverings of lattices, depending on the filling factor. For example, the classical ground states of a half-filled checkerboard lattice are mapped on fullypacked loop coverings on a square lattice. Defect-defect correlation functions for different lattices and coverings are studied analytically and numerically. The results show correlations which decay algebraically with distance on 2D bipartite lattices and exponentially on 2D non-bipartite lattices. The correlations on a 3D bipartite diamond lattice fall off exponentially with the inverse distance. The classical macroscopic ground-state degeneracy is lifted by quantum fluctuations. We calculate the quantum mechanical ground states as well as low-lying excitations of finite checkerboard lattices by means of numerical diagonalization. For the limit |t|\ll V, an effective Hamiltonian is given to lowest non-vanishing order by ring exchange \sim t^{3}/V^{2} [runge2004]. A gauge transformation is used to remove the fermionic sign problem and the low-energy excitations can therefore equivalently be described by hardcore bosons.The quantum-mechanical ground state is degenerate and shows long-range order. Static fractional charges are linearly confined. The confinement results from a reduction of vacuum fluctuations and a polarization of the vacuum in the vicinity of a connecting string. The spectral functions show broad low-energy excitations. They are due to the dynamics of fractionally charged excitations. Signatures for quasiparticles with large spatial extent are found (bound pairs of two fractionally charged particles). Calculations of the optical conductivity show how fractional charges contribute to the electrical current density. Using a suitable extension of our model, we can fine--tune the model to a point in parameter space where it is exactly solvable. This point is similar to the so-called Rokhsar--Kivelson point [rokhsar1988] and fractional charges are deconfined here. For a deeper understanding of the low--energy physics, a mapping to a confining U(1) lattice gauge theory is presented. This mapping relates the problem of fractional charges to the compact quantum electrodynamics in 2+1 dimensions. Furthermore, a duality transformation of our model yields a height model. As a step toward true 3D systems, an effective Hamiltonian for the half-filled pyrochlore lattice in the limit |t|\ll V is derived and studied numerically. We calculate the ground state of small pyrochlore clusters by means of numerical diagonalization. Qualitative differences and similarities to the ground state of a checkerboard lattice are discussed.

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Pollmann, Frank: Charge degrees of freedom on frustrated lattices. 2006.

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