Anisotropic function spaces, anisotropic fractals, and spectral theory for related fractal semi-elliptic operators

Tamási, Erika

Die Theorie der anisotropen Funktionenräume entwickelte sich parallel zur Theorie von isotropen Funktionenräumen. Wir verweisen insbesondere auf Arbeiten von S.M. Nikol'skii¸ O.V. Besov. Die anisotropen Funktionenräume erscheinen dann, wenn man Di®erentialoperatoren untersucht, deren maximale Ableitungsordnungen verschieden von Richtung zu Richtung sind, z.B. der Operator der Wärmeleitungsgleichung. In der vorliegenden Arbeit werden Zusammenhänge zwischen fraktaler Geometrie und der Fourieranalysis, der Theorie der Funktionenräume sowie der Spektraltheorie einiger Differentialoperatoren untersucht. Die Arbeit hat fünf Teile. Im ersten Kapitel stellen wir Grundlagen für anisotrope Besov-Räume zusammen. Das zweite Kapitel widmet sich einigen wichtigen Eigenschaften der anisotropen Besov-Räume. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit Zerlegungen (Atome, Wavelets) in anisotropen Funktionenräumen. Unser Hauptziel in diesem Kapitel ist, das anisotrope Gegenstück zu einem Resultat von H.Triebel(2003) zu beweisen. In Kapitel 4 geben wir die Definition der anisotropen d-Mengen; das sind z.B. anisotrope Cantor-Mengen. Wir studieren die Existenz und die Eigenschaften des Spur Operators tr¡, zwischen den Funktionenräumen, basierend auf Wavelet-Darstellungen aus Kapitel 3. Im letzten Kapitel betrachten wir den semi-elliptischen Differentialoperator. Diese Resultate werden abschließend mit ähnlichen, bereits bekannten (Farkas,2001) verglichen.

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Tamási, Erika: Anisotropic function spaces, anisotropic fractals, and spectral theory for related fractal semi-elliptic operators. 2006.

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