Diskretisierung elliptischer Steuerungsprobleme

Bräutigam, Nils GND

Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht ein Problem der Optimalen Steuerung mit elliptischen Nebenbedingungen und Kontrollbeschränkungen. Diese Problemstellung beschreibt den gleichzeitigen Wunsch den gewünschten Zustand unter minimalem Verbrauch der eingesetzten Energie zu erreichen. Auf Grund der kontinuierlichen Bedingung formuliert als Differential-gleichung entfällt die Möglichkeit einer direkten Implementierung solcher Probleme. Nach theoretischen Überlegungen über Lösbarkeit und Eindeutigkeit der Lösung ist es das Ziel, über eine geeignete Diskretisierung das Problem numerisch zu lösen. Wir verwenden die Methode der Finiten Elemente und die Methode der Finiten Differenzen, woraus sich diskrete Steuerungsprobleme ergeben, deren numerische Berechnung durchführbar ist. Für den Abstand der Lösungen der beiden Probleme entwickeln wir in Abhängigkeit von der Gitterweite oberer Schranken. In beiden Fällen gelingt es uns im quadratischen Mittel quadratische Konvergenzordnung zu erreichen. Ferner definieren wir eine neue zulässige Steuerung und zeigen für diese punktweise quadratische Konvergenz gegen die exakte Lösung. Die hergeleiteten theoretischen Resultate untermalen wir an Hand eines Beispielproblems, bei dem die optimale Steuerung bekannt und somit die Aussagen über den Fehler nachprüfbar sind. Den Rahmen bildet eine konkrete Anwendung der stationären Wärmeverteilung in einem Stab.

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Bräutigam, Nils: Diskretisierung elliptischer Steuerungsprobleme. 2006.

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