Abstiegsverfahren Teil II

Neundorf, Werner

Die Entwicklung moderner numerischer Algorithmen hat zu einem hohen Bedarf an effizienten, robusten iterativen Gleichungssystemlösern geführt. So entstand eine Vielzahl von Verfahren, die man zur Gruppe der Projektionsmethoden und Krylov-Unterraum-Methoden zählt. Gegenstand der Betrachtungen in dieser mehrteiligen Arbeit sind grundlegende Abstiegsverfahren als Vertreter dieser Algorithmengruppe, die auf Minimierungsaufgaben nach Umformulierung eines regulären linearen Gleichungssystems führen. Unter bestimmten Voraussetzungen an die Matrix des Gleichungssystems werden geeignete Funktionale konstruiert und damit der Weg des Abstiegs illustriert. Das Verhalten der Abstiegsverfahren ist in den normalen gutartigen Fällen hinreichend bekannt und untersucht worden. Hier soll zunächst eine Gegenüberstellung zu anderen Situationen gemacht werden, wo man unter veränderten Voraussetzungen arbeitet, und damit der typische Charakter der Minimierungsaufgabe nicht mehr vorhanden ist. Dabei ist teilweise noch mit zufrieden stellenden Ergebnissen zu rechnen, es können aber auch starke Abweichungen vom Normalfall auftreten. Diese Darstellungen findet der Leser in den Teilen I und II. Des Weiteren betrachten wir in einem Teil III die Abstiegsverfahren als polynomiale Iterationsverfahren und untersuchen den Einfluss von Rundungsfehlern bei der Implementation der Verfahren im Zusammenhang mit ihrer (eventuell) theoretischen Endlichkeit sowie mit der Notation des Formelapparates und seiner numerischen Auswertung (Fehlerverhalten und Fehlererinnerung). Praktische Rechnungen mit kleindimensionierten Beispielen, wo man dies auch gut illustrieren kann, demonstrieren die unterschiedlichen Situationen.

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Neundorf, Werner: Abstiegsverfahren Teil II. 2004.

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