Numerische Approximation quasiperiodischer invarianter Tori unter Anwendung erweiterter Systeme

Schilder, Frank

Abstract This thesis presents an algorithm for the computation of quasi-periodic invariant tori. The algorithm is based on an invariance equation for tori which are densely filled by a quasi-periodic orbit. This equation is derived without introducing (local) torus coordinates, which greatly simplifies the construction of discretisation methods and distinguishes the approach discussed here from earlier ones. Similar to periodic solutions of autonomous systems, a solution of the invariance equation has a free phase for each unknown basic frequency. These free phases can be fixed by extending the equation by phase conditions. The phase conditions given here are generalisations of the well-known integral condition for periodic orbits. It is shown that an approximate solution of the extended invariance equation can be computed using Newton's method for functions. Concrete algorithms are constructed by discretising the extended invariance equation using finite-difference and, for comparison, Fourier-Galerkin methods. These methods are independent of the stability-type of the torus. Convergence of the finite-difference method is shown under the restrictions that the system is available in a partitioned form and that the torus is attractive or attractive after reversal of time, respectively. The proof of stability is still open for the extended system. A pseudo-arc-length continuation based on the methods discussed here (as correctors) is implemented in the software package {\tt torcont}. It was successfully tested on numerous examples, some of which are discussed in this thesis.

In der vorliegenden Arbeit wird ein Algorithmus zur Approximation quasiperiodischer invarianter Tori entwickelt. Er basiert auf einer Invarianzgleichung für Tori die von einer quasiperiodischen Lösung dicht ausgefüllt werden. Für die Herleitung dieser Gleichung ist keine Transformation des Systems in (lokale) Toruskoordinaten nötig, was die Konstruktion von Diskretisierungsverfahren erheblich vereinfacht und den vorgestellten Zugang von Früheren unterscheidet. In Analogie zu periodischen Lösungen autonomer Systeme besitzt auch eine Lösung dieser Gleichung für jede unbekannte Basisfrequenz jeweils eine freie Phase, die durch Erweiterung der Gleichung um Phasenbedingungen fixiert werden können. Die hier konstruierten Phasenbedingungen sind dabei Verallgemeinerungen der für periodische Orbits bekannten Integralbedingung. Für die erweiterte Invarianzgleichung wird die Durchführbarkeit des Newton-Verfahrens für Funktionen gezeigt. Konkrete Algorithmen werden durch Diskretisierung der Invarianzgleichung mittels Finiten-Differenzen- und, für Vergleichsrechnungen, Fourier-Galerkin-Verfahren konstruiert. Diese sind unabhängig vom Stabilitätstyp des Torus. Die Konvergenz der Finiten-Differenzen-Methode wird unter den Einschränkungen nachgewiesen, daß das System partitioniert vorliegt und der Torus asymptotisch stabil bzw. nach Zeitumkehr asymptotisch stabil ist. Der Nachweis der Stabilität des um Phasenbedingungen erweiterten diskretisierten Systems ist noch offen. m Softwarepaket torcont, wurde eine Pseudo-Bogenlängen-Parameterfortsetzung auf der Grundlage der beschriebenen Verfahren (als Korrektor) implementiert und an zahlreichen Beispielen erfolgreich getestet, von denen eine Auswahl in der vorliegenden Arbeit diskutiert wird.

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Schilder, Frank: Numerische Approximation quasiperiodischer invarianter Tori unter Anwendung erweiterter Systeme. 2004.

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