Homoclinic bifurcations in reversible systems

Wagenknecht, Thomas

Zusammenfassung zur Dissertation: Homoclinic Bifurcations in Reversible Systems von Thomas Wagenknecht eingereicht bei der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Ilmenau am 17. Juni 2003 öffentlich verteidigt am 12. Dezember 2003 Gutachter: Prof. Dr. A. R. Champneys (University of Bristol) Prof. Dr. B. Fiedler (Freie Universität Berlin) Prof. Dr. B. Marx (Technische Universität Ilmenau) Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit untersucht Bifurkationen homokliner Lösungen in gewöhnlichen Differentialgleichungen. Homokline Lösungen sind in positiver und negativer Zeit asymptotisch zu einer Gleichgewichtslage, d.h. zu einer konstanten Lösung der Differentialgleichung. Die Arbeit betrachtet solche homokline Bifurkationen, die von einer Veränderung des Typs dieser assoziierten Gleichgewichtslage herrühren. Verschiedene Szenarien werden in der Klasse der reversiblen Differentialgleichungen analysiert. Der Hauptteil der Arbeit beschäftigt sich mit Homoklinen an Gleichgewichtslagen, welche selbst in einer lokalen Bifurkation verzweigen. Dabei verändert sich der Typ der Gleichgewichtslage vom reellen Sattel (mit führenden reellen Eigenwerten) zum Sattel-Zentrum (mit einem Paar rein imaginärer Eigenwerte). Das Miteinander lokaler und globaler Bifurkationseffekte erfordert eine neuartige Behandlung: Durch eine Kombination analytischer und geometrischer Techniken wird eine Beschreibung verzweigender Homoklinen gewonnen. Dabei werden sowohl rein reversible Systeme als auch Systeme mit zusätzlicher Symmetrie und Hamilton-Struktur betrachtet. Im zweiten Teil der Arbeit werden homokline Bifurkationsphänomene untersucht, die von einer Typveränderung der Gleichgewichtslage von rellem Sattel zu komplexem Sattel- Fokus (mit komplexen führenden Eigenwerten) herrühren. Dabei wird die Existenz von zwei Ausgangshomoklinen in sogenannter Blasebalg-Konfiguration (homoclinic bellows configuration) vorausgesetzt. Unter Verwendung einer auf Lin zurückgehenden analytischen Methode werden Bifurkationsresultate für verzweigende N-Homoklinen erzielt. Die allgemeinen Bifurkationsresultate werden auf physikalische Probleme der nichtlinearen Optik und Wasserwellentheorie, sowie auf zwei mathematische Modellgleichungen angewendet und in numerischen Untersuchungen bestätigt.

The thesis investigates bifurcations from homoclinic solutions of ordinary differential equations. Homoclinic solutions are characterised by approaching an equilibrium, i.e. a constant solution of a differential equation, in both positive and negative time. The thesis is devoted to the analysis of homoclinic bifurcations that originate from a change in the type of the associated equilibrium. Several scenarios are considered in the class of reversible ordinary differential equations. The main part of the thesis deals with solutions homoclinic to equilibria that themselves undergo a local bifurcation. In this process the type of the equilibrium changes from a real saddle (with real leading eigenvalues) to a saddle-centre (with a pair of imaginary eigenvalues). The interplay of local and global bifurcation effects requires a new analytical approach. By a combination of analytical and geometric techniques a description of bifurcating homoclinic solutions is derived. Thereby both purely reversible systems and systems with additional symmetry or Hamiltonian structure are considered. The second part of the thesis discusses a homoclinic bifurcation in which the associated equilibrium undergoes a transition from real saddle to complex saddle-focus (with complex leading eigenvalues). The existence of two primary homoclinic solutions forming a so-called bellows structure is assumed. Using an analytical technique known as Lin?s method results about the bifurcation of N-homoclinic orbits are derived. The theory is applied to physical problems from nonlinear optics and water wave theory as well as to two mathematical model systems. Numerical investigations confirm the general bifurcation results.

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Wagenknecht, Thomas: Homoclinic bifurcations in reversible systems. 2004.

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