On large deformations of elastic circular arcs

Yin, Xianjun

Das Thema dieser Arbeit kommt von einem praktischen Greifersystem, dessen vereinfachter wesentlicher Teil aus zwei eingespannt-freien elastischen kreisförmigen Stäben besteht. Die Bewegung dieses Systems wird durch die Deformationen der elastischen kreisförmigen Stäbe unter der am freien Ende angreifenden Kraft erzeugt. Die Bögen können von jeder möglichen Form sein, von der Geraden bis zum gesamten geschlitzten Ring, und ihre Deformationen können beliebig groß sein. Nach Aufstellung eines mathematischen Modells in Form eines Randwertproblems mit drei Parametern (Kraft, Bogengeometrie) für eine Pendelgleichung wurden Vielfachheit und Stabilität der Lösungen der Pendelgleichung und der entsprechenden Stabkonfigurationen untersucht. Dazu wurde eine leistungsfähige Methode, die "Mannigfaltigkeitsmethode", entwickelt, die auf der Diskussion der Phasenkurven der Pendelgleichung basiert. Mit dieser Methode, gekoppelt mit numerischen Rechnungen, wurden die Bifurkationsdiagramme der Pendelgleichung für verschiedene Kombinationen der Parameter erhalten. Die Bifurkationsdiagramme zeigten Vielfachheit und die Änderungstendenz der Lösungen der Pendelgleichung und der Konfigurationen der verformten Bögen an. Die Bifurkationsdiagramme zeigen für unser Modell turningpoint-, pitchfork- und X-Bifurkationen sowie Hysteresis. Die Kraftparameterebene wurde nach der Zahl der Lösungen in Gebiete unterteilt. Die theoretische Untersuchung des Halbringes mittels elliptischer Integrale wurde durchgeführt, und das Resultat zeigt eine genaue Übereinstimmung mit den Ergebnissen der Mannifaltigkeitsmethode. Für die Stabilitätsuntersuchung versagen klassische Methoden, da das Randwertproblem für die Pendelgleichung keine trivialen Lösungen besitzt. Deshalb wurde die Pendelgleichung in eine parabolische partielle Differentialgleichung eingebettet, die Liapunovstabilität der stationären Lösungen definiert die "P-Stabilität" der Konfiguration des elastischen Stabes. Stabilitätsaussagen werden mit Hilfe der Methode der ersten Näherung und unter Benutzung der Bifurkationsfunktion gewonnen. Zum ursprünglichen praktischen Problem "Feder und Greifer" wurden als Ergebnisse Federcharakteristiken, insbesondere Kraft-Verschiebungs-Kennlinien für kreisbogenförmige Federn gefunden. Für Greifer, die aus zwei symmetrisch angeordneten elastischen Kreisbögen bestehen, wurden Zusammenhänge von Öffnungsweite, Haftreibungskoeffzient und Haltekraft gefunden. Die Methoden, die in dieser Arbeit eingeführt werden, besonders die Mannifaltigkeitsmethode und P-Stabilität, können für die Untersuchung von Bifurkation und Stabilität bei allgemeinen gewöhnlichen Dfferentialgleichungen nützlich sein.

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Yin, Xianjun: On large deformations of elastic circular arcs. 2003.

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