Homoclinic Snaking ist ein spezielles Phänomen bei der Fortsetzungs homokliner Orbits in der Nähe eines heteroklinen Zykels, welcher eine Gleichgewichtslage und einen periodischen Orbit verbindet. Der Begriff „Snaking“ bezieht sich dabei auf die Sinusform der Fortsetzungskurven. Typischer Weise tritt dieses Phänomen in reversiblen Hamilton-Systemen auf. Dabei entsprechen die zwei Snaking-Kurven symmetrischen Homoklinen, wohingegen asymmetrische Homoklinen auf Kurvenstücken liegen, welche die beiden Snaking-Kurven verbinden. Zusammengenommen bilden die Fortsetzungskurven die Snakes-and-ladders Struktur. In dieser Arbeit wird Homoclinic Snaking in nichtreversiblen DGLs betrachtet, deren reversible Struktur (allein oder zusammen mit der Hamilton Struktur) gestört wird. Ausgangspunkt dafür ist die Arbeit von Beck et. al. (Snakes, ladders, and isolas of localised patterns). Es wird gezeigt, dass die Störung der Reversibilität geschlossene Fortsetzungskurven (Isolas) oder zwei Fortsetzungskurven, hervorrufen kann, welche alternierend den ursprünglichen sinusförmigen Fortsetzungskurven (Criss-Cross Snaking) folgen. Darüber hinaus wird Homoclinic Snaking in gewöhnlichen DGLs betrachtet, welche von Beginn an keine ausgezeichnete Struktur besitzen. Es wird untersucht, wie das Verhalten des ursprünglichen heteroklinen Zykels das Fortsetzungsverhalten bestimmt. Dabei werden die beiden Fälle unterschieden, dass der periodische Orbit positive oder negative Floquet Multiplikatoren besitzt. Desweiteren wird ein Fortsetzungsszenario bestehend aus Isolas beschrieben. Weiterhin werden Fenichelkoordinaten in der Nähe eine 1-parametrigen Familie von periodischen Orbits, in welcher in sich die Dimension der stabilen Mannigfaltigkeit ändert, konstruiert. Dazu wird eine Foliation einer erweiterten stabilen Mannigfaltigkeit konstruiert. Es wird gezeigt, dass wenn der schwach stabile Floquet Exponent gegen Null strebt, die Foliation auch im Grenzwert glatt ist. Darüber hinaus wird ein Shilnikov Problem in der Nähe der 1-parametrigen Familie von periodischen Orbits gelöst, wenn der schwach stabile Floquet Exponent gegen Null strebt. Die Analysis basiert auf der Arbeit von Krupa et al. (Fast and slow waves in the FitzHugh-Nagumo equation).
Homoclinic Snaking refers to the sinusoidal “snaking” continuation curves of homoclinic orbits near a heteroclinic cycle connecting an equilibrium E and a periodic orbit P. Along these continuation curves the homoclinic orbit performs more and more windings about the periodic orbit. Typically this behaviour appears in reversible Hamiltonian systems. In those systems the two snaking curves correspond to symmetric homoclinic orbits, whereas asymmetric homoclinic orbits are located on curve segments that connected the snaking curves. Altogether the continuation curves form a snakes-and-ladder structure. In this thesis we consider Homoclinic Snaking in non-reversible ODEs, where the reversible structure is destroyed (alone or together with the Hamiltonian structure) by means of perturbations. Starting point of our analysis is the work by Beck et. al. (Snakes, ladders, and isolas of localised patterns). We show that perturbing the reversible structure may effect infinitely many closed continuation curves (isolas) or two snaking continuation curves following alternately the primary sinusoidal continuation curves (Criss-Cross Snaking). Further we consider Homoclinic Snaking in ODEs that have no particular structure from the beginning. We analyse how the behaviour of the primary heteroclinic cycle determines the continuation behaviour of the homoclinic orbits. In our considerations we distinguish the cases that the periodic orbit P has positive or negative Floquet multipliers, respectively. Furthermore we describe a non-snaking scenario consisting of disjoint isolas. To perform our analysis we construct Fenichel coordinates near a 1-parameter family of periodic orbits, in which the dimensions of the corresponding stable manifolds change, when changing the family parameter. To this end we derive a foliation of an extended (stable) manifold. We show that this foliation is smooth even in the limit when the weak (stable) Floquet exponent of the periodic orbit tends to zero. To carry out our continuation analysis of homoclinic orbits, we solve a Shilnikov problem near the 1-parameter family of periodic orbits. The analysis is based on work by Krupa et. al. (Fast and slow waves in the FitzHugh-Nagumo equation). We adapt this approach to the situation of periodic orbits with a weak (stable) Floquet exponent that tends to zero.